Obtenha a Lei de Ohm, V=R I, partindo de \vec{E}=\rho \vec{j}. Considere que \vec{E}, \vec{j} e da estão todos na mesma direção, e que o fio condutor tem área A e comprimento L. Use também V=\oint \vec{E} \cdot d \vec{l}. Explique a importância desse resultado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, partindo da lei microscópica
\vec{E} = \rho\,\vec{j}
e sabendo que o fio condutor tem comprimento L e área de seção reta A, vale a lei macroscópica
V = R\,I
onde usamos também
V = \oint \vec{E}\cdot d\vec{l}.
Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico, densidade de corrente, resistividade e diferença de potencial.

Passo 2

A diferença de potencial entre as duas extremidades do fio é dada por
V = \int_{0}^{L}\vec{E}\cdot d\vec{l}.
Como \vec{E} está alinhado com o fio, temos \vec{E}\cdot d\vec{l}=E\,dl, logo
V = \int_{0}^{L}E\,dl = E\,L.

Passo 3

A densidade de corrente \vec{j} num condutor uniforme é a corrente total dividida pela área de seção reta, isto é,
j = \frac{I}{A}.

Passo 4

Da relação microscópica \vec{E}=\rho\,\vec{j} segue
E = \rho\,j = \rho\,\frac{I}{A}.

Passo 5

Substituindo E em V = E\,L obtemos
V = \biggl(\rho\,\frac{I}{A}\biggr)\,L = \frac{\rho\,L}{A}\,I.

Passo 6

Definimos a resistência elétrica do fio como
R = \frac{\rho\,L}{A}.
Com isso surge a forma macroscópica da Lei de Ohm:
V = R\,I.

Passo 7

Esse resultado é fundamental porque relaciona a propriedade microscópica do material ( \rho) à resistência macroscópica ( R) e mostra por que materiais “ôhmicos” obedecem à proporcionalidade linear entre tensão e corrente, servindo de base para toda a análise de circuitos elétricos.

Resposta

\displaystyle V = R\,I com \displaystyle R = \frac{\rho\,L}{A}.

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