Considere o modelo de Drude para um campo elétrico constante, \vec{E}, cuja equação é dada por
m_{e} \frac{d}{d t} \vec{v}_{m e d}=-e \vec{E}-\frac{m_{e}}{\tau} \vec{v}_{m e d}
a) Mostre que \vec{v}_{m e d} \approx-\frac{e \tau \vec{E}}{m_{e}}.
b) Obtenha a densidade de corrente \vec{j}, sabendo que d N_{e}=n_{e}\langle v\rangle d S d t.
c) Escreva \vec{j} em termos da condutividade \sigma_{D}= \frac{n_{e} e^{2} \tau}{m_{e}}; e escreva \vec{E} em termos da resistividade \rho.

Passo 1

O enunciado trata do modelo de Drude para elétrons livres submetidos a um campo elétrico constante \vec{E}. A equação de movimento é
m_{e}\,\frac{d}{dt}\,\vec{v}_{med} \;=\;-\,e\,\vec{E}\;-\;\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec{v}_{med}.
Queremos:
\bullet (a) obter o valor aproximado de \vec{v}_{med} em regime estacionário;
\bullet (b) calcular a densidade de corrente \vec{j} sabendo que o número de elétrons atravessando uma área dS no tempo dt é dN_{e}=n_{e}\langle v\rangle\,dS\,dt;
\bullet (c) reescrever \vec{j} em termos da condutividade \sigma_{D}=\tfrac{n_{e}e^{2}\tau}{m_{e}} e também expressar \vec{E} via a resistividade \rho.

Passo 2

Em regime estacionário de longo prazo temos \dfrac{d}{dt}\,\vec{v}_{med}\approx0. Logo da equação de Drude
0 = -\,e\,\vec{E} \;-\;\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec{v}_{med}
isola-se \vec{v}_{med}:
\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec{v}_{med} = -\,e\,\vec{E} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}_{med} = -\,\frac{e\,\tau}{m_{e}}\,\vec{E}.

Passo 3

A densidade de corrente elétrica é a carga transportada por unidade de área e tempo. Num gás de elétrons
dN_{e}=n_{e}\,\langle v\rangle\,dS\,dt
significa que em dS\,dt passam n_{e}\langle v\rangle\,dS\,dt elétrons de carga -e. Assim
\vec{j} = (-e)\,\frac{dN_{e}}{dS\,dt} = -\,e\,n_{e}\,\vec{v}_{med}.
Substituindo \vec{v}_{med}:
\vec{j} = -\,e\,n_{e}\,\Bigl(-\,\frac{e\,\tau}{m_{e}}\,\vec{E}\Bigr) = \frac{n_{e}\,e^{2}\,\tau}{m_{e}}\,\vec{E}.

Passo 4

Definindo a condutividade de Drude
\sigma_{D} = \frac{n_{e}\,e^{2}\,\tau}{m_{e}},
escrevemos
\vec{j} = \sigma_{D}\,\vec{E}.
Invertendo esta relação, a resistividade \rho é justamente o inverso de \sigma_{D}:
\vec{E} = \rho\,\vec{j}, \quad \rho = \frac{1}{\sigma_{D}}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{med} = -\,\frac{e\,\tau}{m_{e}}\,\vec{E}, \displaystyle \vec{j} = \frac{n_{e}\,e^{2}\,\tau}{m_{e}}\,\vec{E}, \displaystyle \vec{j} = \sigma_{D}\,\vec{E},\quad \vec{E} = \rho\,\vec{j},\quad \sigma_{D}=\frac{n_{e}e^{2}\tau}{m_{e}},\;\rho=\frac1{\sigma_{D}}.

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