a)Qual o motivo para ter que usar uma descrição estatística para descrever o movimento de elétrons em um material condutor.
b) Qual é a relação entre condutividade e resistividade.
c) Em termos de conectar o microscópico com o macroscópico, explique o que é o modelo de Drude e suas consequências.
b) Qual é a relação entre condutividade e resistividade.
c) Em termos de conectar o microscópico com o macroscópico, explique o que é o modelo de Drude e suas consequências.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre condução elétrica em metais:
– (a) por que precisamos de uma descrição estatística para o movimento dos elétrons em um condutor;
– (b) qual a relação entre condutividade e resistividade;
– (c) o que é o modelo de Drude, como ele conecta o comportamento microscópico dos elétrons com as grandezas macroscópicas e quais são suas principais consequências.
O conteúdo envolvido é eletrodinâmica de meios contínuos, mecânica estatística e física do estado sólido. Para resolver vamos discutir o caráter aleatório do movimento eletrônico, apresentar as definições de condutividade elétrica e resistividade
e descrever o modelo clássico de Drude, mostrando como dele surge a lei de Ohm e outras previsões.
– (a) por que precisamos de uma descrição estatística para o movimento dos elétrons em um condutor;
– (b) qual a relação entre condutividade e resistividade;
– (c) o que é o modelo de Drude, como ele conecta o comportamento microscópico dos elétrons com as grandezas macroscópicas e quais são suas principais consequências.
O conteúdo envolvido é eletrodinâmica de meios contínuos, mecânica estatística e física do estado sólido. Para resolver vamos discutir o caráter aleatório do movimento eletrônico, apresentar as definições de condutividade elétrica
Passo 2
Para entender o movimento dos elétrons em um metal basta olhar para quantos elétrons existem e quão frequentemente eles colidem com íons da rede cristalina. Cada colisão é um evento aleatório e a energia térmica produz agitação constante dos elétrons. Como há algo em torno de
elétrons por metro cúbico e colisões ocorrem em escalas de
a
s, é impossível prever trajetórias individuais. Então adotamos uma descrição estatística, em que caracterizamos a velocidade média, o tempo médio entre colisões (
) e distribuições de velocidades (por exemplo a distribuição de Maxwell-Boltzmann clássica ou Fermi-Dirac quântica). Essa abordagem permite obter previsões macroscópicas, como corrente elétrica e condutividade, sem saber onde está cada elétron a cada instante.
Passo 3
Condutividade e resistividade são grandezas inversas uma da outra. A condutividade elétrica
mede a facilidade com que a corrente elétrica flui sob um campo elétrico aplicado, enquanto a resistividade
mede a oposição. A relação é simplesmente
ou seja, materiais com alta condutividade têm baixa resistividade e vice-versa.
Passo 4
O modelo de Drude trata os elétrons de condução como um gás clássico de partículas livres, com massa
e carga
, que se deslocam entre colisões com íons fixos da rede. As hipóteses principais são:
- Entre colisões os elétrons sofrem apenas a força elétrica
. - As colisões são eventos instantâneos que randomizam totalmente a velocidade do elétron.
- O tempo médio entre colisões é
.
Aplicando a segunda lei de Newton em média para a componente do movimento na direção de
, temos
onde o último termo é um “atrito” médio devido às colisões. No regime estacionário
, o arrasto equilibra a força elétrica, de modo que
Como a densidade de corrente é
, obtemos a lei de Ohm macroscópica
com
Dessa fórmula microscópica surge a condutividade em função de parâmetros atômicos (
,
,
,
). As consequências principais do modelo de Drude incluem:
– Lei de Ohm
.
– Coeficiente de Hall
– Coeficiente de Hall
que explica o sinal e a magnitude do efeito Hall.
– Previsão aproximada da condutividade térmica e da relação de Wiedemann–Franz (mesmo que o valor numérico exato só venha com correções quânticas).
– Previsão aproximada da condutividade térmica e da relação de Wiedemann–Franz (mesmo que o valor numérico exato só venha com correções quânticas).
O modelo de Drude falha ao prever dependências de temperatura corretas em baixos
e não inclui efeitos quânticos (Fermi-Dirac), mas estabelece a ponte entre o movimento microscópico dos elétrons e as propriedades macroscópicas de condutividade e resistividade.
Resposta
a) Porque há um número enorme de elétrons sofrendo colisões frequentes e aleatórias, impossibilitando descrever trajetórias individuais e exigindo uma abordagem estatística para obter grandezas médias.
b) .
c) O modelo de Drude considera os elétrons livres colidindo aleatoriamente com a rede, introduz um tempo médio de relaxação e, a partir da segunda lei de Newton em média, deriva a lei de Ohm
, prevê o efeito Hall e relaciona condutividade elétrica e térmica, estabelecendo uma conexão microscópico-macroscópica.
b)
c) O modelo de Drude considera os elétrons livres colidindo aleatoriamente com a rede, introduz um tempo médio de relaxação