a)Qual o motivo para ter que usar uma descrição estatística para descrever o movimento de elétrons em um material condutor.
b) Qual é a relação entre condutividade e resistividade.
c) Em termos de conectar o microscópico com o macroscópico, explique o que é o modelo de Drude e suas consequências.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre condução elétrica em metais:
– (a) por que precisamos de uma descrição estatística para o movimento dos elétrons em um condutor;
– (b) qual a relação entre condutividade e resistividade;
– (c) o que é o modelo de Drude, como ele conecta o comportamento microscópico dos elétrons com as grandezas macroscópicas e quais são suas principais consequências.
O conteúdo envolvido é eletrodinâmica de meios contínuos, mecânica estatística e física do estado sólido. Para resolver vamos discutir o caráter aleatório do movimento eletrônico, apresentar as definições de condutividade elétrica \sigma e resistividade \rho e descrever o modelo clássico de Drude, mostrando como dele surge a lei de Ohm e outras previsões.

Passo 2

Para entender o movimento dos elétrons em um metal basta olhar para quantos elétrons existem e quão frequentemente eles colidem com íons da rede cristalina. Cada colisão é um evento aleatório e a energia térmica produz agitação constante dos elétrons. Como há algo em torno de 10^{28} elétrons por metro cúbico e colisões ocorrem em escalas de 10^{-14} a 10^{-13} s, é impossível prever trajetórias individuais. Então adotamos uma descrição estatística, em que caracterizamos a velocidade média, o tempo médio entre colisões ( \tau) e distribuições de velocidades (por exemplo a distribuição de Maxwell-Boltzmann clássica ou Fermi-Dirac quântica). Essa abordagem permite obter previsões macroscópicas, como corrente elétrica e condutividade, sem saber onde está cada elétron a cada instante.

Passo 3

Condutividade e resistividade são grandezas inversas uma da outra. A condutividade elétrica \sigma mede a facilidade com que a corrente elétrica flui sob um campo elétrico aplicado, enquanto a resistividade \rho mede a oposição. A relação é simplesmente
\rho = \frac{1}{\sigma},
ou seja, materiais com alta condutividade têm baixa resistividade e vice-versa.

Passo 4

O modelo de Drude trata os elétrons de condução como um gás clássico de partículas livres, com massa m e carga -e, que se deslocam entre colisões com íons fixos da rede. As hipóteses principais são:
  1. Entre colisões os elétrons sofrem apenas a força elétrica \mathbf{F}=-e\,\mathbf{E}.
  2. As colisões são eventos instantâneos que randomizam totalmente a velocidade do elétron.
  3. O tempo médio entre colisões é \tau.
Aplicando a segunda lei de Newton em média para a componente do movimento na direção de \mathbf{E}, temos
m\,\frac{d\langle v\rangle}{dt} = -e\,E - \frac{m\,\langle v\rangle}{\tau},
onde o último termo é um “atrito” médio devido às colisões. No regime estacionário \tfrac{d\langle v\rangle}{dt}=0, o arrasto equilibra a força elétrica, de modo que
\langle v\rangle = -\frac{e\,\tau}{m}\,E.
Como a densidade de corrente é \mathbf{J}= -n\,e\,\langle v\rangle, obtemos a lei de Ohm macroscópica \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} com
\sigma = \frac{n\,e^2\,\tau}{m}.
Dessa fórmula microscópica surge a condutividade em função de parâmetros atômicos ( n, e, m, \tau). As consequências principais do modelo de Drude incluem:
– Lei de Ohm \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
– Coeficiente de Hall
R_H = -\frac{1}{n\,e},
que explica o sinal e a magnitude do efeito Hall.
– Previsão aproximada da condutividade térmica e da relação de Wiedemann–Franz (mesmo que o valor numérico exato só venha com correções quânticas).
O modelo de Drude falha ao prever dependências de temperatura corretas em baixos T e não inclui efeitos quânticos (Fermi-Dirac), mas estabelece a ponte entre o movimento microscópico dos elétrons e as propriedades macroscópicas de condutividade e resistividade.

Resposta

a) Porque há um número enorme de elétrons sofrendo colisões frequentes e aleatórias, impossibilitando descrever trajetórias individuais e exigindo uma abordagem estatística para obter grandezas médias.
b) \rho = 1/\sigma.
c) O modelo de Drude considera os elétrons livres colidindo aleatoriamente com a rede, introduz um tempo médio de relaxação \tau e, a partir da segunda lei de Newton em média, deriva a lei de Ohm \sigma = n e^2 \tau/m, prevê o efeito Hall e relaciona condutividade elétrica e térmica, estabelecendo uma conexão microscópico-macroscópica.

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