Dado o modelo de espaço de estados em [Given the state-space model in] (4):
l [l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc 0 & 1 -5 & -2 ][l x1(t) x2(t) ]+[l 0 2 ] u(t) y(t) =[ll 0 & 1 ][l x1(t) x2(t) ]+u(t)
Encontre um modelo de entrada-saída equivalente ao modelo de espaço de estado [Find an input-output model equivalent to the state-space model].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um modelo de espaço de estados, que basicamente descreve como um sistema reage a uma entrada ao longo do tempo usando equações diferenciais. O que a gente precisa fazer é transformar esse modelo em um modelo de entrada-saída equivalente, ou seja, achar uma relação direta entre a entrada e a saída . Para isso, vamos usar a teoria de funções de transferência, que nos ajuda a passar do espaço de estados para o domínio de Laplace e encontrar essa relação direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função de transferência H(s) = C (sI - A)^-1 B + D , a gente usa a fórmula:
Aqui, , , e são as matrizes do modelo de espaço de estados que a gente já tem. Essa fórmula nos dá uma maneira de relacionar a entrada com a saída no domínio de Laplace.

Passo 3

Vamos começar calculando I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz sI - A = s & 0 0 & s - 0 & 1 -5 & -2 = s & -1 5 & s + 2 é a matriz identidade, que nesse caso é uma matriz 2x2:
Então, multiplicando por e subtraindo a matriz , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o inverso de a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , ou seja, (sI - A)^-1 = 1s(s + 2) - (-1)(5) s + 2 & 1 -5 & s . Para uma matriz 2x2, a fórmula do inverso é:
det = s(s + 2) + 5 = s^2 + 2s + 5
Então, aplicando isso à nossa matriz:
(sI - A)^-1 = 1s^2 + 2s + 5 s + 2 & 1 -5 & s
Calculando o determinante:
Então:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar B = 0 2 pela matriz (sI - A)^-1 B = 1s^2 + 2s + 5 s + 2 & 1 -5 & s 0 2 = 1s^2 + 2s + 5 (s + 2)(0) + 1(2) -5(0) + s(2) = 1s^2 + 2s + 5 2 2s :
Então:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz C = 0 & 1 , D = [1] pelo resultado que obtivemos e adicionar C cdot (sI - A)^-1 B + D = 0 & 1 2s^2 + 2s + 5 2ss^2 + 2s + 5 + 1 = 0 cdot 2s^2 + 2s + 5 + 1 cdot 2ss^2 + 2s + 5 + 1 = 2ss^2 + 2s + 5 + 1 :
Então:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para obter a função de transferência H(s) = 2ss^2 + 2s + 5 + 1 = 2s + s^2 + 2s + 5s^2 + 2s + 5 = s^2 + 4s + 5s^2 + 2s + 5 :

Resposta

O modelo de entrada-saída equivalente é dado pela função de transferência:
H(s) = s^2 + 4s + 5s^2 + 2s + 5

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