Considere um modelo de N íons magnéticos localizados, definido pelo hamiltoniano de spin
\mathcal{H}=D \sum_{j=1}^{N} S_{j}^{2},
onde a variável S_{j} pode assumir os valores -1,0 ou +1 , para qualquer j (ver exercício (1) do capítulo 2). Dada a energia total E, utilize a expressão do número de estados microscópicos acessíveis ao sistema, \Omega(E, N), para obter a entropia por partícula, s=s(u), onde u=E / N. Obtenha uma expressão para o calor específico em função da temperatura T. Escreva agora uma expressão para a entropia como função da temperatura. Quais os valores limites da entropia para T \rightarrow 0 e para T \rightarrow \infty ?

Passo 1

O sistema tem N\) spins independentes, cada um podendo assumir três estados \(S_j\in\{-1,0,1\}\) com energia \[\varepsilon(S_j)=D\,S_j^2= \begin{cases} 0,&S_j=0,\\\ D,&S_j=\pm1. \end{cases}
No total, se houver M\] spins em \(\pm1 e N-M spins em 0, a energia total é E=M\,D. Para contar as microestados, escolhemos quais M spins estão em \pm1 (fator combinatório) e para cada um desses temos 2 orientações. Logo
\Omega(E,N)=\frac{N!}{M!\,(N-M)!}\;2^M,
com M=E/D. Nossa meta é obter a entropia por partícula
s=\frac{1}{N}k\ln\Omega(E,N)
como função de u=E/N, depois o calor específico c(T) e finalmente a entropia s(T) e seus limites.

Passo 2

Defina a fração p=M/N=E/(D\,N)=u/D. Então
\ln\Omega=N\ln N - N +N\;f(p),
onde
f(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)+p\ln2
vem de aplicar Stirling em \ln[N!/(M!(N-M)!)] e do termo M\ln2. Assim a entropia por partícula é
s(u)=\frac{k}{N}\ln\Omega =k\,f\bigl(p\bigr) =-k\Bigl[p\ln p+(1-p)\ln(1-p)-p\ln2\Bigr],
com p=u/D.

Passo 3

No ensemble canônico, a função partição por spin é
Z_1=1+2e^{-\beta D},
onde \beta=1/(kT). A energia média por partícula é
u(T)=\langle\varepsilon\rangle =\frac{D\;2e^{-\beta D}}{1+2e^{-\beta D}}.
Confirmamos que p=u/D=2e^{-\beta D}/(1+2e^{-\beta D}), consistente com o passo anterior.

Passo 4

O calor específico por partícula é
c(T)=\frac{du}{dT} =\frac{d}{dT}\!\Bigl[\frac{2D\,e^{-D/(kT)}}{1+2e^{-D/(kT)}}\Bigr].
Fazendo a derivada direta e usando \frac{d}{dT}e^{-D/(kT)}=e^{-D/(kT)}\frac{D}{kT^2}, obtém-se
c(T) =k\Bigl(\frac{D}{kT}\Bigr)^{\!2} \frac{2\,e^{-D/(kT)}}{\bigl[1+2e^{-D/(kT)}\bigr]^{2}}.

Passo 5

A entropia por partícula como função de T pode ser escrita em forma canônica:
s(T) =k\bigl[\ln Z_1+\beta\,u(T)\bigr] =k\Bigl[\ln\bigl(1+2e^{-D/(kT)}\bigr) +\frac{D}{kT}\,\frac{2e^{-D/(kT)}}{1+2e^{-D/(kT)}}\Bigr].

Passo 6

Limites de s(T):
- Para T\to0, \beta\to\infty e e^{-\beta D}\to0, logo Z_1\to1 e u\to0. Daí
s(0)=k[\ln1+0]=0.
- Para T\to\infty, \beta\to0 e e^{-\beta D}\to1, logo Z_1\to3 e \beta u\to0. Assim
s(\infty)=k\ln3.

Resposta

s(u)= -k\bigl[\tfrac{u}{D}\ln\tfrac{u}{D}+(1-\tfrac{u}{D})\ln(1-\tfrac{u}{D})-\tfrac{u}{D}\ln2\bigr]
c(T)= k\bigl(\tfrac{D}{kT}\bigr)^{2}\,\tfrac{2e^{-D/(kT)}}{\bigl(1+2e^{-D/(kT)}\bigr)^{2}}
s(T)= k\bigl[\ln\bigl(1+2e^{-D/(kT)}\bigr)+\tfrac{D}{kT}\,\tfrac{2e^{-D/(kT)}}{1+2e^{-D/(kT)}}\bigr]
Limites: s(0)=0, s(\infty)=k\ln3.

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