Considere um modelo de
íons magnéticos localizados, definido pelo hamiltoniano de spin
onde a variável
pode assumir os valores
ou +1 , para qualquer
(ver exercício (1) do capítulo 2). Dada a energia total
, utilize a expressão do número de estados microscópicos acessíveis ao sistema,
, para obter a entropia por partícula,
, onde
. Obtenha uma expressão para o calor específico em função da temperatura
. Escreva agora uma expressão para a entropia como função da temperatura. Quais os valores limites da entropia para
e para
?
Passo 1
O sistema tem
No total, se houver
e
spins em
, a energia total é
. Para contar as microestados, escolhemos quais
spins estão em
(fator combinatório) e para cada um desses temos 2 orientações. Logo
com
. Nossa meta é obter a entropia por partícula
como função de
, depois o calor específico
e finalmente a entropia
e seus limites.
Passo 2
Defina a fração
. Então
onde
vem de aplicar Stirling em
e do termo
. Assim a entropia por partícula é
com
.
Passo 3
No ensemble canônico, a função partição por spin é
onde
. A energia média por partícula é
Confirmamos que
, consistente com o passo anterior.
Passo 4
O calor específico por partícula é
Fazendo a derivada direta e usando
, obtém-se
Passo 5
A entropia por partícula como função de
pode ser escrita em forma canônica:
Passo 6
Limites de
:
- Para ,
e
, logo
e
. Daí
- Para
- Para
,
e
, logo
e
. Assim
Resposta
s(u)=
c(T)=
s(T)=
Limites: ,
.
c(T)=
s(T)=
Limites: