Considere um gás ideal clássico de N partículas monoatômicas e não-interagentes (ou seja, desprezando quaisquer interações entre as partículas), de massa m, dentro do volume V, com energia entre E e E+\delta E. Determine o número de microestados acessíveis.

Passo 1

O enunciado pede o número de microestados acessíveis a um gás ideal clássico de N partículas monoatômicas não-interagentes, cada uma de massa m, confinado em volume V, com energia total entre E e E+\delta E.
Conteúdo: mecânica estatística clássica, ensemble microcanônico. Vamos usar o conceito de volume de fase (espaço de posições e momentos) e dividir pelo tamanho do “célula elementar” h^{3N} e pelo fator N! de partículas idênticas.

Passo 2

Escrevemos o número de microestados \Omega(E,\delta E) como o volume de fase onde a energia H(\{p_i\})=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m} fica entre E e E+\delta E, dividido por h^{3N}N!:
\Omega(E,\delta E) =\frac{1}{h^{3N}\,N!} \int_{\substack{0\le x_i\le V\E\le H(p)\le E+\delta E}} d^{3N}x\,d^{3N}p.

Passo 3

Como o gás é ideal e não há força entre partículas, a integral sobre posições separa-se trivialmente, dando
\int_{0}^{V}d^{3N}x = V^N.
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\Omega(E,\delta E) =\frac{V^N}{h^{3N}\,N!} \int_{E\le \sum_i\frac{p_i^2}{2m}\le E+\delta E} d^{3N}p.

Passo 4

A parte em momento é o volume de uma casca de raio \sqrt{2mE} e espessura \delta(\sum p^2/2m)\approx\delta E. Primeiro o volume do hiperespaço até energia E é
\int_{\sum p^2/2m\le E}d^{3N}p =\frac{\pi^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}+1\bigr)}\,(2mE)^{\frac{3N}{2}}.
Diferenciando em relação a E e multiplicando por \delta E obtemos a casca:
\int_{E\le \sum p^2/2m\le E+\delta E}d^{3N}p =\frac{d}{dE}\biggl[\frac{\pi^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma(\tfrac{3N}{2}+1)}(2mE)^{\frac{3N}{2}}\biggr]\delta E =\frac{(2\pi m)^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma(\tfrac{3N}{2})}\,E^{\frac{3N}{2}-1}\,\delta E.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \Omega(E,\delta E) e reunindo fatores, chega-se a
\Omega(E,\delta E) =\frac{V^N}{h^{3N}\,N!} \;\frac{(2\pi m)^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}\bigr)} \;E^{\frac{3N}{2}-1}\,\delta E.

Resposta

\boxed{ \Omega(E,\delta E) =\frac{V^N}{h^{3N}\,N!}\, \frac{(2\pi m)^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}\bigr)}\, E^{\frac{3N}{2}-1}\,\delta E }.

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