Determine, usando a definição, uma inversa generalizada de A^-=[ll3 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3 & 0 e queremos encontrar uma inversa generalizada para ela. Isso significa que a matriz não é quadrada, então não dá para fazer a inversa normal. A gente vai precisar usar a definição de inversa generalizada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que só existe para matrizes quadradas e invertíveis, a inversa generalizada (também conhecida como inversa de Moore-Penrose) pode ser aplicada a matrizes retangulares. Ela não é única, mas serve para resolver sistemas que não têm solução única.

Passo 3

A matriz dada A^- = 3 & 0 é uma matriz , ou seja, tem 1 linha e 2 colunas:
Queremos encontrar uma matriz que seja a inversa generalizada de . Como é , precisará ser .

Passo 4

A definição de inversa generalizada nos diz que A^- X A^- = A^- deve satisfazer:
x y
Vamos supor que A^- X = 3 & 0 x y = 3x + 0y = 3x . Então, multiplicando:
3x cdot 3 & 0 = 9x & 0
Agora, multiplicando de novo por 9x & 0 = 3 & 0 :
Para que isso seja igual a , temos:
Isso nos dá a equação , ou seja, . O valor de pode ser qualquer número, já que ele não afeta o resultado.

Resposta

Uma inversa generalizada de 3 & 0 é:
X = dfrac13 y
onde pode ser qualquer número real.

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