Se
é definida como
Prove que
onde
são inversas generalizadas de
, respectivamente.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para provar que a inversa generalizada de uma matriz em bloco diagonal é composta pelas inversas generalizadas das matrizes individuais. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes em bloco e inversas generalizadas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as operações com matrizes em bloco e as propriedades das inversas generalizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz em bloco. Uma matriz em bloco é uma matriz dividida em submatrizes menores, chamadas de blocos. No nosso caso, a matriz
é formada pelos blocos
,
e dois blocos de zeros
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a inversa generalizada. A inversa generalizada de uma matriz
, denotada por
, é uma matriz que satisfaz certas condições que generalizam a ideia de inversa, mesmo quando
não é invertível no sentido clássico.
Passo 4
Para provar que a inversa generalizada de
é uma matriz em bloco diagonal com as inversas generalizadas de
e
, vamos assumir que
e
existem, ou seja,
e
possuem inversas generalizadas.
Passo 5
Vamos considerar o produto de
pela suposta inversa generalizada
:
Passo 6
Sabemos que
e
são matrizes que satisfazem as condições para serem inversas generalizadas de
e
, respectivamente. Assim, a matriz resultante é a identidade nas posições correspondentes aos blocos.
Passo 7
Portanto,
resulta na matriz identidade bloco:
Isso confirma que
é, de fato, a inversa generalizada de
.
Resposta
Assim, demonstramos que a inversa generalizada de
é