Se A é definida como
A=[ll B & O O & C ]
Prove que
A^-=[cc B^- & O O & C^- ]
onde A^-, B^-, C^-são inversas generalizadas de A, B, C, respectivamente.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para provar que a inversa generalizada de uma matriz em bloco diagonal é composta pelas inversas generalizadas das matrizes individuais. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes em bloco e inversas generalizadas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as operações com matrizes em bloco e as propriedades das inversas generalizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz em bloco. Uma matriz em bloco é uma matriz dividida em submatrizes menores, chamadas de blocos. No nosso caso, a matriz é formada pelos blocos , e dois blocos de zeros .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a inversa generalizada. A inversa generalizada de uma matriz , denotada por , é uma matriz que satisfaz certas condições que generalizam a ideia de inversa, mesmo quando não é invertível no sentido clássico.

Passo 4

Para provar que a inversa generalizada de é uma matriz em bloco diagonal com as inversas generalizadas de e , vamos assumir que e existem, ou seja, e possuem inversas generalizadas.

Passo 5

Vamos considerar o produto de A cdot A^- = [cc B & O O & C ] cdot [cc B^- & O O & C^- ] = [cc BB^- & O O & CC^- ] pela suposta inversa generalizada :

Passo 6

Sabemos que e são matrizes que satisfazem as condições para serem inversas generalizadas de e , respectivamente. Assim, a matriz resultante é a identidade nas posições correspondentes aos blocos.

Passo 7

Portanto, A cdot A^- = [cc I & O O & I ] resulta na matriz identidade bloco:
Isso confirma que é, de fato, a inversa generalizada de .

Resposta

Assim, demonstramos que a inversa generalizada de A^- = [cc B^- & O O & C^- ] é

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