onde J>0, D>0 e S_{i}=-1,0,+1, para todos os sítios.
(a) Utilizando condições periódicas de contorno, calcule os autovalores da matriz de transferência;
(b) Calcule expressões para a energia interna e a entropia por spin;
(c) Qual o estado fundamental desse modelo (T=0) em função do parâmetro d=D / J ? Obtenha a forma assintótica dos autovalores da matriz de transferência, para T \rightarrow 0, nas regiões características do eixo d.
Passo 1
O enunciado apresenta um modelo unidimensional de spin-1 com hamiltoniano
onde S_i\in\{-1,0,1\}, J>0, D>0 e usamos condições periódicas.
Conteúdo: método da matriz de transferência. Vamos definir
K=\beta J,\quad d=\frac{D}{J},
e calcular (a) os autovalores da matriz de transferência, (b) expressão para energia interna e entropia por spin em função de K,d, e (c) o estado fundamental (T\to0) e o comportamento assintótico dos autovalores.
Passo 2
Cada elemento da matriz de transferência T_{S,S'} é
Para T=0 (\beta\to\infty, K\to\infty) comparamos dois candidatos:
— Todos S_i=0: energia por spin u_0=0.
— Todos S_i=+1 (ou -1): \displaystyle u_1=-J+D=-J(1-d).
Logo se d<1 tem u_1<0 e o estado fundamental é ferromagnético S_i=\pm1; se d>1 ganha S_i=0; em d=1 há degenerescência.
Passo 5
Com K\to\infty obtemos as formas assintóticas dos autovalores:
Se d<1, o maior autovalor vem do bloco simétrico e
\lambda_{\max}\simeq2e^{-dK}\operatorname{cosh} K =e^{K(1-d)}+e^{-K(1+d)},
o segundo maior é \lambda_A\simeq e^{K(1-d)}-e^{-K(1+d)}, e o terceiro é \lambda_-\to1.
Se d>1, todos os autovalores exceto \lambda_- e \lambda_A tendem a zero exponencialmente, sobrando \lambda_{\max}\simeq1, e \lambda_{A},\lambda_+\sim e^{-K(d-1)}.
Em d=1 achamos \lambda_+\simeq1+e^{-2K}, \lambda_A\simeq1-e^{-2K}, \lambda_-\simeq1.