Considere um modelo unidimensional de spin 1 , definido pelo hamiltoniano
\mathcal{H}=-J \sum_{i=1}^{N} S_{i} S_{i+1}+D \sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}
onde J>0, D>0 e S_{i}=-1,0,+1, para todos os sítios.
(a) Utilizando condições periódicas de contorno, calcule os autovalores da matriz de transferência;
(b) Calcule expressões para a energia interna e a entropia por spin;
(c) Qual o estado fundamental desse modelo (T=0) em função do parâmetro d=D / J ? Obtenha a forma assintótica dos autovalores da matriz de transferência, para T \rightarrow 0, nas regiões características do eixo d.

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo unidimensional de spin-1 com hamiltoniano
\mathcal{H}=-J\sum_{i=1}^N S_i S_{i+1}+D\sum_{i=1}^N S_i^2,
onde S_i\in\{-1,0,1\}, J>0, D>0 e usamos condições periódicas.
Conteúdo: método da matriz de transferência. Vamos definir
K=\beta J,\quad d=\frac{D}{J},
e calcular (a) os autovalores da matriz de transferência, (b) expressão para energia interna e entropia por spin em função de K,d, e (c) o estado fundamental ( T\to0) e o comportamento assintótico dos autovalores.

Passo 2

Cada elemento da matriz de transferência T_{S,S'} é
T_{S,S'}=\exp\bigl(K\,S\,S' - \tfrac{dK}{2}(S^2+S'^2)\bigr),
com S,S'=-1,0,1. Ordenando a base como (-1,0,1), temos
T=\begin{pmatrix} e^{K-dK} & e^{-dK/2} & e^{-K-dK}\\\ e^{-dK/2} & 1 & e^{-dK/2}\\\ e^{-K-dK} & e^{-dK/2} & e^{K-dK} \end{pmatrix}.
Em virtude da simetria S\to -S, há um autovetor antissimétrico v_A=(1,0,-1) com autovalor
\lambda_A =e^{K-dK}-e^{-K-dK} =2e^{-dK}\operatorname{sinh} K.
O subespaço simétrico é bidimensional, gerando uma submatriz
\begin{pmatrix} 2e^{-dK}\operatorname{cosh} K & \sqrt2\,e^{-dK/2}\\[6pt] \sqrt2\,e^{-dK/2} & 1 \end{pmatrix}
cuja soma e determinante valem
\mathop{\mathrm{Tr}}=1+2e^{-dK}\operatorname{cosh} K,\quad \det=2e^{-dK}(\operatorname{cosh} K-1)\,,
logo os dois autovalores são
\lambda_{\pm} =\frac{1+2e^{-dK}\operatorname{cosh} K\;\pm\;\sqrt{\bigl(1-2e^{-dK}\operatorname{cosh} K\bigr)^2+8e^{-dK}}}{2}.]

Passo 3

No limite N\to\infty a função de partição \displaystyle Z\approx\lambda_{\max}^N, onde
\lambda_{\max}=\max\{\lambda_+,\lambda_-,\lambda_A\}.
A energia interna por spin é
u=\frac{U}{N} =-\frac{\partial\ln\lambda_{\max}}{\partial\beta} =-J\frac{\partial\ln\lambda_{\max}}{\partial K},
e a entropia por spin sai de
s=\frac{U-F}{NT} =-\beta^2\frac{\partial}{\partial\beta}\Bigl(\tfrac{1}{\beta}\ln\lambda_{\max}\Bigr) =\ln\lambda_{\max}-K\frac{\partial\ln\lambda_{\max}}{\partial K}.

Passo 4

Para T=0 ( \beta\to\infty, K\to\infty) comparamos dois candidatos:
— Todos S_i=0: energia por spin u_0=0.
— Todos S_i=+1 (ou -1):
\displaystyle u_1=-J+D=-J(1-d).
Logo se d<1 tem u_1<0 e o estado fundamental é ferromagnético S_i=\pm1; se d>1 ganha S_i=0; em d=1 há degenerescência.

Passo 5

Com K\to\infty obtemos as formas assintóticas dos autovalores:
  • Se d<1, o maior autovalor vem do bloco simétrico e
\lambda_{\max}\simeq2e^{-dK}\operatorname{cosh} K =e^{K(1-d)}+e^{-K(1+d)},
o segundo maior é
\lambda_A\simeq e^{K(1-d)}-e^{-K(1+d)}, e o terceiro é \lambda_-\to1.
  • Se d>1, todos os autovalores exceto \lambda_- e \lambda_A tendem a zero exponencialmente, sobrando
    \lambda_{\max}\simeq1, e \lambda_{A},\lambda_+\sim e^{-K(d-1)}.
  • Em d=1 achamos
    \lambda_+\simeq1+e^{-2K},
    \lambda_A\simeq1-e^{-2K},
    \lambda_-\simeq1.

Resposta

(a) Os autovalores são
\lambda_A=2e^{-dK}\operatorname{sinh} K, \quad \lambda_{\pm} =\frac{1+2e^{-dK}\operatorname{cosh} K\;\pm\;\sqrt{(1-2e^{-dK}\operatorname{cosh} K)^2+8e^{-dK}}}{2}.
(b) Usando \lambda_{\max}=\max\{\lambda_A,\lambda_+,\lambda_-\},
u=-J\frac{\partial\ln\lambda_{\max}}{\partial K}, \qquad s=\ln\lambda_{\max}-K\frac{\partial\ln\lambda_{\max}}{\partial K}.
(c) Para T\to0 (isto é, K\to\infty):
  • Se d<1, o estado fundamental é ferromagnético S_i=\pm1.
  • Se d>1, o estado fundamental é S_i=0.
  • Em d=1, degenerescência.
    As expan­sões assintóticas de \lambda_{\max},\lambda_A,\lambda_- para cada região de d estão dadas em Texto no Passo 5.

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