Para um gás ideal de bósons, determine a razão entre a densidade do condensado e a densidade total do sistema como função de T / T_{0}, onde T_{0} é a temperatura de transição.

Passo 1

O enunciado quer a razão entre a densidade do condensado \,n_{0}\, e a densidade total \,n\, de um gás ideal de bósons em função de T/T_{0}, onde T_{0} é a temperatura crítica de ingresso na fase condensada. Para isso usamos a estatística de Bose–Einstein e a definição de temperatura crítica, sabendo que abaixo de T_{0} parte das partículas ocupa o estado de energia zero (condensado).

Passo 2

Em equilíbrio térmico, a densidade total se divide em parte excitada e parte condensada:
n \;=\; n_{\mathrm{exc}}(T)\;+\;n_{0}\,.
A densidade das partículas excitadas é dada por
n_{\mathrm{exc}}(T) =\frac{1}{\Lambda^{3}(T)}\,g_{3/2}(1) =\frac{\zeta\bigl(\tfrac32\bigr)}{\Lambda^{3}(T)},
onde \Lambda(T)=\bigl[2\pi\hbar^{2}/(m k_{B}T)\bigr]^{1/2} é o comprimento de onda térmico e \zeta(3/2)=g_{3/2}(1) é a função zeta de Riemann.

Passo 3

A temperatura crítica T_{0} é definida pelo ponto em que toda a densidade justapõe-se na parte excitada, isto é,
n =\frac{\zeta\bigl(\tfrac32\bigr)}{\Lambda^{3}(T_{0})}\,.
Como \Lambda(T)\propto T^{-1/2}, segue
\frac{1}{\Lambda^{3}(T)} =\Bigl(\frac{T}{T_{0}}\Bigr)^{3/2}\, \frac{1}{\Lambda^{3}(T_{0})} =\Bigl(\frac{T}{T_{0}}\Bigr)^{3/2}\,n.
Logo, abaixo de T_{0} a fração excitada é
\frac{n_{\mathrm{exc}}(T)}{n} =\Bigl(\frac{T}{T_{0}}\Bigr)^{3/2}.

Passo 4

A fração condensada é então
\frac{n_{0}}{n} =1-\frac{n_{\mathrm{exc}}(T)}{n} =1-\Bigl(\frac{T}{T_{0}}\Bigr)^{3/2},
válida para T\le T_{0}. Acima de T_{0} não há condensado e a razão é zero.

Resposta

\frac{n_{0}}{n} =1-\Bigl(\frac{T}{T_{0}}\Bigr)^{3/2}, \quad T\le T_{0},
e \,n_{0}/n=0 para T>T_{0}.

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