Dada as hipóteses da coluna 1 da tabela a seguir, demonstre que as premissas apresentadas na coluna 2 são suas equivalentes e descreva o significado de cada uma dessas hipóteses.
Hipóteses do modelo clássico
(\mathbf{1}) (\mathbf{2})
E\left(u_{i} \mid X_{i}\right)=0 E\left(Y_{i} \mid X_{i}\right)=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}
\operatorname{cov}\left(u_{i}, u_{j}\right)=0,(i \neq j) \operatorname{cov}\left(Y_{i}, Y_{j}\right)=0,(i \neq j)
\operatorname{var}\left(u_{i} \mid X_{i}\right)=\sigma^{2} \operatorname{var}\left(Y_{i} \mid X_{i}\right)=\sigma^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado apresenta o modelo de regressão linear simples (implícito) com erro e pede para demonstrar que cada hipótese da coluna 2 é equivalente à hipótese correspondente da coluna 1, e descrever o significado de cada hipótese.
  • Vou tomar explicitamente o modelo (isso é padrão no contexto):
Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i},\qquad i=1,\dots,n.
  • As hipóteses que aparecem nas duas colunas são (uma por linha):
    1. Coluna 1: \;E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0.\quad Coluna 2: \;E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}.
    2. Coluna 1: \;\operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 para i\neq j.\quad Coluna 2: \;\operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0 para i\neq j.
    3. Coluna 1: \;\operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}.\quad Coluna 2: \;\operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}.
  • Objetivo: provar, passo a passo, que cada linha da coluna 2 é equivalente à linha correspondente da coluna 1 (ou seja, cada uma implica a outra), e explicar o significado econômico/estatístico de cada hipótese.

Passo 2

Equivalência entre \;E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0 e \;E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}.
  • Começo definindo o resíduo (erro) a partir do modelo:
u_{i}=Y_{i}-\beta_{1}-\beta_{2}X_{i}.
Isto é apenas rearranjar o modelo.
  • Primeiro, mostro que \;E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0\Rightarrow E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}.
    • Use a propriedade da esperança condicional: E(A+B\mid X)=E(A\mid X)+E(B\mid X) e E(c\mid X)=c se c é função conhecida de X (por exemplo \beta_{1}+\beta_{2}X_{i} é conhecida dado X_{i}).
    • Aplique isso a Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}:
    E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=E\bigl(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}\mid X_{i}\bigr) =\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr).
    • Se E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0, então
    E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}.
  • Agora a implicação inversa: E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}\Rightarrow E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0.
    • Reescreva u_{i}=Y_{i}-\beta_{1}-\beta_{2}X_{i} e tome esperança condicional:
    E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=E\bigl(Y_{i}-\beta_{1}-\beta_{2}X_{i}\mid X_{i}\bigr) =E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)-\beta_{1}-\beta_{2}X_{i}.
    • Se E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}, então o lado direito é zero, logo E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0.
  • Interpretação didática e intuitiva:
    • A condição \;E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0 significa que, para cada valor observado de X_{i}, o erro tem média zero — isto é, sabendo X_{i} não se consegue prever um desvio sistemático em Y_{i}. Em termos práticos, não há omissão sistemática de variável dependente relacionada a X_{i}: o modelo condicional está centrado corretamente.
    • A condição equivalente \;E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i} diz diretamente que a função de regressão condicional de Y em relação a X é linear com intercepto \beta_{1} e coeficiente \beta_{2}. São duas maneiras de dizer a mesma coisa: uma coloca o foco no erro (média zero), a outra no próprio Y (forma da média condicional).

Passo 3

Equivalência entre \;\operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 para i\neq j e \;\operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0 para i\neq j.
  • Antes de mostrar cálculo, devo explicitar uma suposição padrão usada aqui: vou usar a formulação clássica com X_{i} tratados como não-aleatórios (fixos nas repetições da amostra). Esta é a maneira mais simples e usual de apresentar a equivalência; se X_{i} for aleatório, precisa-se de hipóteses adicionais de exogeneidade e independência entre X e u para a equivalência — a ideia é a mesma, mas o enunciado clássico geralmente assume X fixos ou, equivalente, condicionar em X. Por isso trabalho com X como constantes conhecidas ao calcular covariâncias.
  • Com X_{i} fixos, calcule a covariância entre Y_{i} e Y_{j} (para i\neq j):
\begin{aligned} \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j}) &=\operatorname{cov}\bigl(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i},\;\beta_{1}+\beta_{2}X_{j}+u_{j}\bigr) \\\ &=\operatorname{cov}(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i},\beta_{1}+\beta_{2}X_{j}) +\operatorname{cov}(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i},u_{j}) \\\ &\quad+\operatorname{cov}(u_{i},\beta_{1}+\beta_{2}X_{j})+\operatorname{cov}(u_{i},u_{j}). \end{aligned}
  • Se X_{i} e X_{j} são fixos (constantes), então \beta_{1}+\beta_{2}X_{i} e \beta_{1}+\beta_{2}X_{j} são constantes e têm covariância zero com qualquer variável. Assim os três primeiros termos são zero e sobra:
\operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=\operatorname{cov}(u_{i},u_{j}).
  • Portanto, sob a suposição de X fixos:
    • Se \operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 então \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0.
    • Reciprocamente, se \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0 então \operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 (porque pela mesma igualdade \operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=\operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})).
  • Observação sobre o caso X aleatório: se X não for tratado como fixo, para garantir \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=\operatorname{cov}(u_{i},u_{j}) é preciso que os termos envolvendo X não gerem covariância com os erros (por exemplo, E[X_{i}u_{j}]=0 etc.). Essa é a versão “exogeneidade e ausência de correlação espacial/temporal entre regressores e erros”. Em muitas apresentações básicas assume-se X fixo para simplificar.
  • Interpretação didática:
    • \operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 para i\neq j significa que os erros são não correlacionados entre diferentes observações — não há dependência serial (se os índices representam tempo) nem correlação cruzada entre unidades. Em séries temporais isso é ausência de autocorrelação; em dados em painel ou amostrais é ausência de correlação entre observações.
    • A forma equivalente \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0 (sob X fixo) diz que, depois de remover os efeitos determinísticos \beta_{1}+\beta_{2}X_{i}, não sobra correlação entre observações. É outra maneira de dizer que não há “transferência” de informação do erro entre unidades.

Passo 4

Equivalência entre \;\operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2} e \;\operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}.
  • Parto da definição: Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}. Tomando variância condicional em X_{i}:
\operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\operatorname{var}\bigl(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}\mid X_{i}\bigr).
  • Como \beta_{1}+\beta_{2}X_{i} é conhecido quando condicionamos em X_{i} (é função determinística de X_{i}), sua variância condicional é zero. Logo
\operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr).
  • Portanto:
    • Se \operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2} então \operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}.
    • E inversamente, se \operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2} então \operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}.
  • Interpretação didática:
    • A condição \operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2} é a hipótese de homocedasticidade condicional: a variabilidade do erro é a mesma para todos os valores de X_{i} (não depende de X_{i}). Em outras palavras, os pontos estão igualmente “espalhados” em torno da reta esperada, independentemente do valor de X.
    • A forma equivalente \operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2} diz que a dispersão de Y ao redor da média condicional \beta_{1}+\beta_{2}X_{i} é constante em X. Se isso falha (variação depende de X), diz-se que há heterocedasticidade, o que afeta a eficiência do OLS e validação dos erros-padrão.

Passo 5

Sumário prático e consequências para inferência (ou seja, por que isso importa na prova).
  • As três hipóteses juntas (média condicional zero; erros não correlacionados; variância condicional constante) são parte das hipóteses clássicas que garantem que o OLS é BLUE (Gauss–Markov: melhor estimador linear insesgado) e que os erros padrão convencionais são válidos para testagem e construção de intervalos, quando também se assume normalidade dos erros se for necessária inferência exata.
  • Significados resumidos:
    • Unbiasedness/exogeneidade: \;E(u_{i}\mid X_{i})=0 (ou equivalente sobre Y) — o regressor não está correlacionado com a média do erro; evita viés por omissão correlacionada com X.
    • Ausência de correlação entre erros: \;\operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0 para i\neq j — elimina autocorrelação/clustering; caso contrário, os erros-padrão precisam ser ajustados.
    • Homocedasticidade: \;\operatorname{var}(u_{i}\mid X_{i})=\sigma^{2} — garante que a variância de u é constante; se false, OLS continua não-viesado mas não é mais eficiente e os erros-padrão padrão são incorretos.
  • Exemplos rápidos (intuitivos):
    • Se E(u\mid X)\neq0: por exemplo, falta uma variável relevante Z correlacionada com X; então a reta estimada vai sistematicamente errar — viés.
    • Se \operatorname{cov}(u_{t},u_{t-1})\neq0 (em séries temporais): acontecimentos em um período afetam erros em outro — autocorrelação — erros-padrão precisam de correção (Newey–West, por exemplo).
    • Se \operatorname{var}(u\mid X) aumenta com X: os pontos mais à direita têm maior dispersão — heterocedasticidade — use erros-padrão robustos (White) para inferência correta.

Resposta

E\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=0\iff E\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}\n
\operatorname{cov}(u_{i},u_{j})=0\\ (i\neq j)\iff \operatorname{cov}(Y_{i},Y_{j})=0\\ (i\neq j) (sob a suposição usual de X fixos)\n
\operatorname{var}\bigl(u_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}\iff \operatorname{var}\bigl(Y_{i}\mid X_{i}\bigr)=\sigma^{2}

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