Considere os modelos não-estocásticos a seguir (isto é, modelos sem termo de erro estocástico). São modelos de regressão linear? Se não forem, é possível, por meio de manipulações algébricas adequadas, convertê-los em modelos lineares (como)?
Y_{i}=\frac{1}{1+\exp \left(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\right)}

Passo 1

O enunciado dá o modelo (sem termo de erro estocástico)
Y_{i}=\frac{1}{1+\exp\big(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\big)}.
As perguntas a responder são:
  • Isso é um modelo de regressão linear?
  • Se não for, é possível, por manipulações algébricas, transformá‑lo em um modelo linear — e como?
Informações úteis fornecidas:
  • As incógnitas são os parâmetros \beta_{1} e \beta_{2}.
  • A variável explicativa é X_{i} e a resposta é Y_{i}.
  • Pela forma da função logistic, os valores possíveis de Y_{i} estão no intervalo aberto (0,1) (isto será relevante para aplicar logaritmos).

Passo 2

O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
  • Um modelo é linear quando é linear em relação aos parâmetros desconhecidos. Uma forma canônica é
y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\beta_2 x_{i2}+\cdots+\beta_p x_{ip},
ou, de maneira mais geral,
y_i=\sum_{j=0}^{p}\beta_j g_j(X_i),
onde cada g_j(X_i) é uma função conhecida dos preditores (dependente de X_i somente) e os parâmetros \beta_j aparecem multiplicando essas funções, sem estarem dentro de funções não‑lineares. Exemplo: y_i=\beta_1+\beta_2 X_i é linear; y_i=\beta_1+\beta_2 X_i^2 também é linear em parâmetros (apesar de X_i^2 ser não linear em X), pois os parâmetros aparecem de forma multiplicativa e não dentro de uma função não linear.

Passo 3

Verificando linearidade do modelo dado:
  • O modelo dado escreve \beta_{1} e \beta_{2} dentro de uma exponencial e no denominador. Isso faz com que os parâmetros não apareçam como coeficientes multiplicando funções conhecidas de X; aparecem dentro de uma função não linear \exp(\cdot) e dentro de uma fração.
  • Portanto, tal como está escrito, o modelo não é linear em parâmetros: é um modelo não linear (não é um “modelo de regressão linear” na definição acima).

Passo 4

Tentativa de linearização por manipulação algébrica — passo a passo:
Começo com a expressão dada:
Y_{i}=\frac{1}{1+\exp\big(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\big)}.
Invertendo ambos os lados:
\frac{1}{Y_{i}}=1+\exp\big(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\big).
Subtraindo 1 de ambos os lados:
\frac{1}{Y_{i}}-1=\exp\big(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\big).
Reescrevendo o lado esquerdo como uma única fração:
\frac{1-Y_{i}}{Y_{i}}=\exp\big(-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}\big).
Tomando logaritmo natural (observação: isso requer 0<Y_{i}<1, pois senão a fração ou o log não estariam definidos):
\log\!\left(\frac{1-Y_{i}}{Y_{i}}\right)=-\beta_{1}-\beta_{2} X_{i}.
Multiplicando por -1 (ou invertendo a fração dentro do log):
\log\!\left(\frac{Y_{i}}{1-Y_{i}}\right)=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}.

Passo 5

Interpretação do resultado (a “linearização”):
  • Defina a transformação logit da resposta como Z_{i}=\log\!\left(\dfrac{Y_{i}}{1-Y_{i}}\right). Pelo passo anterior, obtemos a relação exata
Z_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}.
  • Esta equação é linear em \beta_{1} e \beta_{2}: portanto, aplicando a transformação logit à resposta Y_{i} conseguimos um modelo linear em parâmetros. Em outras palavras, o modelo original é linearizável pela transformação logit.

Passo 6

Condições, cuidados e observações práticas (didática importante):
  • Domínio: a transformação só faz sentido se 0<Y_{i}<1 para todo i. Se algum Y_{i}\in\{0,1\}, a logit é indefinida.
  • Natureza do erro: o enunciado dava um modelo não‑estocástico (sem termo de erro). Se na prática há ruído nos Y_i, então a transformação altera a estrutura do erro. Por exemplo, se o modelo verdadeiro for Y_i=\text{logistic}(\beta_1+\beta_2 X_i)+\varepsilon_i com \varepsilon_i aditivo em Y, então aplicar logit em ambos os lados não produz um modelo com erro aditivo simples em Z_i; portanto, estimar por OLS em Z_i pode ser inadequado. Em problemas estocásticos é comum modelar diretamente a relação logística via métodos apropriados (p.ex. regressão logística para casos binários ou modelagem de resposta contínua em (0,1) com transformação apropriada e consideração do termo de erro).
  • No caso puramente determinístico (sem erro), a transformação dá uma relação linear exata entre Z_i e X_i, o que significa que os pontos (X_i,Z_i) devem ficar exatamente sobre uma reta de coeficientes \beta_1,\beta_2.

Passo 7

Resumo didático rápido e exemplo intuitivo:
  • Resumo: o modelo original não é linear em parâmetros; mas aplicando a transformação logit a Y_i obtemos a forma linear \log\!\left(\dfrac{Y_i}{1-Y_i}\right)=\beta_1+\beta_2 X_i.
  • Exemplo simples: se \beta_1=0 e \beta_2=1, então Y_i=1/(1+e^{-X_i}) e \log\!\left(\dfrac{Y_i}{1-Y_i}\right)=X_i, isto é, a transformação recupera uma relação linear óbvia.

Resposta

Não. O modelo original não é um modelo de regressão linear porque os parâmetros aparecem dentro de uma função exponencial e no denominador (não são lineares em parâmetros).
Sim. Aplicando a transformação logit obtém‑se um modelo linear:
\log\!\left(\frac{Y_i}{1-Y_i}\right)=\beta_1+\beta_2 X_i,
válido para 0<Y_i<1.

Exercícios relacionados