Considere os modelos não-estocásticos a seguir (isto é, modelos sem termo de erro estocástico). São modelos de regressão linear? Se não forem, é possível, por meio de manipulações algébricas adequadas, convertê-los em modelos lineares (como)?
Passo 1
O enunciado dá o modelo (sem termo de erro estocástico)
As perguntas a responder são:
- Isso é um modelo de regressão linear?
- Se não for, é possível, por manipulações algébricas, transformá‑lo em um modelo linear — e como?
Informações úteis fornecidas:
- As incógnitas são os parâmetros
e . - A variável explicativa é
e a resposta é . - Pela forma da função logistic, os valores possíveis de
estão no intervalo aberto (isto será relevante para aplicar logaritmos).
Passo 2
O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
- Um modelo é linear quando é linear em relação aos parâmetros desconhecidos. Uma forma canônica é
ou, de maneira mais geral,
onde cada
é uma função conhecida dos preditores (dependente de
somente) e os parâmetros
aparecem multiplicando essas funções, sem estarem dentro de funções não‑lineares. Exemplo:
é linear;
também é linear em parâmetros (apesar de
ser não linear em
), pois os parâmetros aparecem de forma multiplicativa e não dentro de uma função não linear.
Passo 3
Verificando linearidade do modelo dado:
- O modelo dado escreve
e dentro de uma exponencial e no denominador. Isso faz com que os parâmetros não apareçam como coeficientes multiplicando funções conhecidas de ; aparecem dentro de uma função não linear e dentro de uma fração. - Portanto, tal como está escrito, o modelo não é linear em parâmetros: é um modelo não linear (não é um “modelo de regressão linear” na definição acima).
Passo 4
Tentativa de linearização por manipulação algébrica — passo a passo:
Começo com a expressão dada:
Começo com a expressão dada:
Invertendo ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Reescrevendo o lado esquerdo como uma única fração:
Tomando logaritmo natural (observação: isso requer
, pois senão a fração ou o log não estariam definidos):
Multiplicando por
(ou invertendo a fração dentro do log):
Passo 5
Interpretação do resultado (a “linearização”):
- Defina a transformação logit da resposta como
. Pelo passo anterior, obtemos a relação exata
- Esta equação é linear em
e : portanto, aplicando a transformação logit à resposta conseguimos um modelo linear em parâmetros. Em outras palavras, o modelo original é linearizável pela transformação logit.
Passo 6
Condições, cuidados e observações práticas (didática importante):
- Domínio: a transformação só faz sentido se
para todo . Se algum , a logit é indefinida. - Natureza do erro: o enunciado dava um modelo não‑estocástico (sem termo de erro). Se na prática há ruído nos
, então a transformação altera a estrutura do erro. Por exemplo, se o modelo verdadeiro for com aditivo em , então aplicar logit em ambos os lados não produz um modelo com erro aditivo simples em ; portanto, estimar por OLS em pode ser inadequado. Em problemas estocásticos é comum modelar diretamente a relação logística via métodos apropriados (p.ex. regressão logística para casos binários ou modelagem de resposta contínua em com transformação apropriada e consideração do termo de erro). - No caso puramente determinístico (sem erro), a transformação dá uma relação linear exata entre
e , o que significa que os pontos devem ficar exatamente sobre uma reta de coeficientes .
Passo 7
Resumo didático rápido e exemplo intuitivo:
- Resumo: o modelo original não é linear em parâmetros; mas aplicando a transformação logit a
obtemos a forma linear . - Exemplo simples: se
e , então e , isto é, a transformação recupera uma relação linear óbvia.
Resposta
Não. O modelo original não é um modelo de regressão linear porque os parâmetros aparecem dentro de uma função exponencial e no denominador (não são lineares em parâmetros).
Sim. Aplicando a transformação logit obtém‑se um modelo linear:
Sim. Aplicando a transformação logit obtém‑se um modelo linear:
válido para
.