Considere a modificação a seguir do problema de valor inicial no Exemplo 3.4.2:
y^prime prime-y^prime+y4=0, y(0)=2, y^prime(0)=b
Encontre a solução em função de b e depois determine o valor crítico de b que separa as soluções que permanecem positivas para todo t>0 das que acabam ficando negativas.

Passo 1

O enunciado trata de resolver o problema de valor inicial
y''-y'+tfrac14 y=0, y(0)=2, y'(0)=b
usando método de equação diferencial linear com coeficientes constantes, e em seguida achar o valor de b que separa soluções que ficam sempre positivas daquelas que eventualmente ficam negativas.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 - r + tfrac14 = 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdottfrac14 = 1-1 = 0,
logo há raiz dupla
r = 12
A solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^t/2

Passo 3

Impondo y(0)=2 obtemos
C1 = 2
Para y'(t) derivamos
y'(t) = l(C2 + tfrac12(C1 + C2 t)r)e^t/2 = l(C2 + tfracC12 + tfracC22tr)e^t/2
Em t=0 vale y'(0)=C2 + tfracC12=b, daí
C2 = b - C12 = b - 1
Logo a solução é
y(t) = l(2 + (b-1)tr)e^t/2

Passo 4

Para t>0 temos e^t/2>0, então o sinal de y(t) é dado por
f(t) = 2 + (b-1)t
Se b-1<0 então f(t) decresce e anula em t=tfrac21-b, ficando negativa depois. Se b-1>=0 então f(t)>=2>0 para todo t>=0. Assim o valor crítico que separa os comportamentos é
b=1

Resposta

A solução geral é
y(t) = l(2 + (b-1)tr)e^t/2,
e o valor crítico é ,b=1. Para b>=1 a solução permanece positiva em todo t>0; para b<1 ela fica negativa a partir de algum t>0.

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