Considere a modificação a seguir do problema de valor inicial no Exemplo 3.4.2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que permanecem positivas para todo
das que acabam ficando negativas.
Passo 1
O enunciado trata de resolver o problema de valor inicial
usando método de equação diferencial linear com coeficientes constantes, e em seguida achar o valor de
que separa soluções que ficam sempre positivas daquelas que eventualmente ficam negativas.
Passo 2
Escrevemos a equação característica
O discriminante é
logo há raiz dupla
A solução geral é
Passo 3
Impondo
obtemos
Para
derivamos
Em
vale
, daí
Logo a solução é
Passo 4
Para
temos
, então o sinal de
é dado por
Se
então
decresce e anula em
, ficando negativa depois. Se
então
para todo
. Assim o valor crítico que separa os comportamentos é
Resposta
A solução geral é
e o valor crítico é
. Para
a solução permanece positiva em todo
; para
ela fica negativa a partir de algum
.