Considere a, b in R, de modo que a>0, b>0, a /=1 e b /=1. Prove as seguintes propriedades.
log a(alpha cdot beta)=log a alpha+log a beta, para quaisquer alpha, beta>0, com alpha, beta>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade fundamental dos logaritmos
loga(alphacdot beta)=logaalpha+logabeta
onde a>0, aneq1 e alpha,beta>0.
Para isso vamos usar a definição de logaritmo como inversa da exponenciação e a lei dos expoentes
a^u,a^v=a^u+v

Passo 2

Seja
u = logaalpha, v = logabeta
Pela definição de logaritmo, isso significa
a^u = alpha e a^v = beta

Passo 3

Multiplicamos alpha por beta e substituímos pelas potências de base a:
alphacdot beta = a^u,cdot a^v

Passo 4

Aplicamos a lei dos expoentes para somar os expoentes:
a^u,a^v = a^u+v
Logo
alphacdot beta = a^,u+v

Passo 5

Tomamos logaritmo de ambos os lados na base a. Usando que loga(a^,X)=X, obtemos
loga(alphacdot beta) = logal(a^,u+vr) = u+v
Substituindo de volta u=logaalpha e v=logabeta, segue
loga(alphacdot beta) = logaalpha + logabeta

Resposta

Está demonstrado que
loga(alphacdot beta)=logaalpha+logabeta

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