Considere a, b in R, de modo que a>0, b>0, a /=1 e b /=1. Prove as seguintes propriedades.
log a alpha^beta=beta cdot log a alpha, para quaisquer alpha, beta in R, com alpha>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de logaritmos
loga(alpha^beta) = beta ,loga(alpha)
para quaisquer a>0, aneq1, e quaisquer alpha>0, betainR.
O que vamos usar é a definição de logaritmo e a lei de potências
(a^u)^v = a^u,v

Passo 2

Pela definição de logaritmo, seja
x = loga(alpha)
Isso significa, por definição, que
a^x = alpha

Passo 3

Elevando ambos os lados de a^x=alpha à potência beta, obtemos
alpha^beta = l(a^xr)^beta
Pela lei de potências, isso se simplifica para
alpha^beta = a^x,beta

Passo 4

Agora aplicamos o logaritmo de base a em ambos os lados:
logal(alpha^betar) = logal(a^x,betar)
Pela propriedade inversa de logaritmo e exponenciação, temos
logal(a^x,betar) = x,beta
Como x = loga(alpha), concluímos
logal(alpha^betar) = beta ,loga(alpha)

Resposta

loga(alpha^beta) = beta ,loga(alpha)

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