Considere a, b in R, de modo que a>0, b>0, a /=1 e b /=1. Prove as seguintes propriedades.
log a alpha=log b alphalog b a para todo alpha in R, com alpha>0 (Mudança da base a para a base b).

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de mudança de base do logaritmo: dados a>0, b>0 com aneq1 e bneq1, e dado alpha>0, mostrar que
loga!alpha ;=;logb!alphalogba
Para isso, vamos usar a definição de logaritmo como inversa da exponenciação e a propriedade de logaritmo de potência.

Passo 2

Defina
x ;=;loga!alpha
Pela definição de logaritmo, isto equivale a
a^x ;=;alpha

Passo 3

Aplique o logaritmo na base b em ambos os lados de a^x=alpha:
logbl(a^xr) ;=;logb(alpha)
Agora use a propriedade logbl(u^vr)=v,logb(u):
logbl(a^xr) ;=;x,logb(a)

Passo 4

Como logbl(a^xr)=logb(alpha), temos
x,logb(a) ;=;logb(alpha)
Logo
x ;=;logb(alpha)logb(a)
Mas x=loga(alpha), portanto
loga!alpha ;=;logb!alphalogba

Resposta

loga!alpha = logb!alphalogba

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