Considere que uma moeda não viciada é lançada uma única vez. Seja X a variável aleatória que assume o valor 1 se o resultado for cara e 0 se o resultado for coroa. Sabendo que a distribuição de X é uma distribuição de Bernoulli.
(a) Escreva a função de probabilidade P(X=x) para x=0 e x=1.
(b) Calcule o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X) da distribuição.
(c) Suponha que a moeda seja lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de observar exatamente 6 caras?

Passo 1

O enunciado dá uma moeda não viciada lançada uma vez e define a variável aleatória X que vale 1 se sair cara e 0 se sair coroa. A distribuição de X é Bernoulli. As perguntas são:
  • (a) Escrever a função de probabilidade P(X=x) para x=0 e x=1.
  • (b) Calcular o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X).
  • (c) Supondo 10 lançamentos da moeda, calcular a probabilidade de observar exatamente 6 caras.
Informações relevantes dadas:
  • A moeda é não viciada, logo a probabilidade de cara (sucesso) é p=\tfrac{1}{2}.
  • Para a Bernoulli, X\in\{0,1\}.

Passo 2

Função de probabilidade geral da Bernoulli e aplicação ao caso da moeda:
  • A Bernoulli com parâmetro p tem, para x\in\{0,1\},
P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}.
Aqui p é a probabilidade de sucesso (cara). Essa fórmula dá P(X=1)=p e P(X=0)=1-p: basta observar que para x=1 obtemos p^{1}(1-p)^{0}=p e para x=0 obtemos p^{0}(1-p)^{1}=1-p.
  • Como a moeda é não viciada, p=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
P(X=1)=\tfrac{1}{2},\qquad P(X=0)=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Cálculo do valor esperado E(X) (explicação didática):
  • A definição de esperança para uma variável discreta é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. Para Bernoulli só há dois valores:
E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1).
  • Usando P(X=0)=1-p e P(X=1)=p,
E(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.
  • No caso da moeda com p=\tfrac{1}{2},
E(X)=\tfrac{1}{2}.
Intuitivamente, a média de muitas repetições dará metade de caras.

Passo 4

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X) (passo a passo e intuição):
  • A variância mede a dispersão em torno da média e é dada por
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
  • Para a Bernoulli, como X\in\{0,1\}, tem-se X^{2}=X. Então E(X^{2})=E(X)=p.
  • Substituindo:
\operatorname{Var}(X)=p - p^{2}=p(1-p).
  • Para p=\tfrac{1}{2},
\operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{2}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{4}=0,25.
Comentário prático: isso significa que a variabilidade é máxima quando p=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Probabilidade de exatamente 6 caras em 10 lançamentos (modelo Binomial):
  • Se lançamos a moeda n=10 vezes de forma independente, a soma de 10 variáveis Bernoulli idênticas tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. Seja S o número de caras; então
\mathbb{P}(S=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} conta quantas sequências diferentes têm exatamente k caras.
  • Para n=10, k=6 e p=\tfrac{1}{2},
\mathbb{P}(S=6)=\binom{10}{6}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{6}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{4}=\binom{10}{6}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{10}.
  • Calcular \binom{10}{6}:
\binom{10}{6}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.
  • Então
\mathbb{P}(S=6)=210\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{10}= \frac{210}{1024}=\frac{105}{512}\approx 0,205078125.
  • Interpretação rápida: cerca de 20{,}5\% das repetições de 10 lançamentos terão exatamente 6 caras.

Resposta

(a) P(X=1)=\tfrac{1}{2},\quad P(X=0)=\tfrac{1}{2}.
(b) E(X)=\tfrac{1}{2},\quad \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{4}=0,25.
(c) \mathbb{P}(\text{exatamente 6 caras em 10 lançamentos})=\dfrac{105}{512}\approx 0,205078125.ç

Exercícios relacionados