Considere que uma moeda não viciada é lançada uma única vez. Seja
a variável aleatória que assume o valor 1 se o resultado for cara e 0 se o resultado for coroa. Sabendo que a distribuição de
é uma distribuição de Bernoulli.
(a) Escreva a função de probabilidade
para
e
.
(b) Calcule o valor esperado
e a variância
da distribuição.
(c) Suponha que a moeda seja lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de observar exatamente 6 caras?
(a) Escreva a função de probabilidade
(b) Calcule o valor esperado
(c) Suponha que a moeda seja lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de observar exatamente 6 caras?
Passo 1
O enunciado dá uma moeda não viciada lançada uma vez e define a variável aleatória
que vale
se sair cara e
se sair coroa. A distribuição de
é Bernoulli. As perguntas são:
- (a) Escrever a função de probabilidade
para e . - (b) Calcular o valor esperado
e a variância . - (c) Supondo 10 lançamentos da moeda, calcular a probabilidade de observar exatamente 6 caras.
Informações relevantes dadas:
- A moeda é não viciada, logo a probabilidade de cara (sucesso) é
. - Para a Bernoulli,
.
Passo 2
Função de probabilidade geral da Bernoulli e aplicação ao caso da moeda:
- A Bernoulli com parâmetro
tem, para ,
Aqui
é a probabilidade de sucesso (cara). Essa fórmula dá
e
: basta observar que para
obtemos
e para
obtemos
.
- Como a moeda é não viciada,
. Substituindo:
Passo 3
Cálculo do valor esperado
(explicação didática):
- A definição de esperança para uma variável discreta é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. Para Bernoulli só há dois valores:
- Usando
e ,
- No caso da moeda com
,
Intuitivamente, a média de muitas repetições dará metade de caras.
Passo 4
Cálculo da variância
(passo a passo e intuição):
- A variância mede a dispersão em torno da média e é dada por
- Para a Bernoulli, como
, tem-se . Então . - Substituindo:
- Para
,
Comentário prático: isso significa que a variabilidade é máxima quando
.
Passo 5
Probabilidade de exatamente 6 caras em 10 lançamentos (modelo Binomial):
- Se lançamos a moeda
vezes de forma independente, a soma de variáveis Bernoulli idênticas tem distribuição Binomial com parâmetros e . Seja o número de caras; então
onde
conta quantas sequências diferentes têm exatamente
caras.
- Para
, e ,
- Calcular
:
- Então
- Interpretação rápida: cerca de
das repetições de 10 lançamentos terão exatamente 6 caras.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)