Uma pesquisa indica que a probabilidade de uma pessoa preferir café a chá é p=0,7. Seja X uma variável aleatória que assume o valor 1 se a pessoa preferir café e 0 se preferir chá, e X segue uma distribuição de Bernoulli.
(a) Escreva a função de probabilidade P(X=x) para x=0 e x=1.
(b) Calcule o valor esperado E(X), a variância \operatorname{Var}(X) e a função F(x) de distribuição acumulada.
(c) Qual é a probabilidade de selecionar uma pessoa que prefira café em duas tentativas consecutivas, supondo independência entre os eventos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
Informação dada:
A probabilidade de uma pessoa preferir café a chá é p=0,7.
Define-se uma variável aleatória X tal que X=1 se a pessoa prefere café e X=0 se prefere chá.
Foi dito que X segue uma distribuição de Bernoulli.
Perguntas do enunciado:
(a) Escrever a função de probabilidade P(X=x) para x=0 e x=1.
(b) Calcular o valor esperado E(X), a variância \operatorname{Var}(X) e a função de distribuição acumulada F(x).
(c) Calcular a probabilidade de selecionar uma pessoa que prefira café em duas tentativas consecutivas, supondo independência.
Passo 2
(a) Vamos escrever a função de probabilidade (pmf) da Bernoulli de forma geral e depois substituir p=0,7.
Definição geral: para uma variável X com distribuição de Bernoulli de parâmetro p,
P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x},\qquad x\in\{0,1\}.
Essa fórmula funciona porque:
se x=1 então p^{x}(1-p)^{1-x}=p\cdot(1-p)^{0}=p;
se x=0 então p^{x}(1-p)^{1-x}=p^{0}\cdot(1-p)=1\cdot(1-p)=1-p.
Substituindo p=0,7:
P(X=1)=0,7,\qquad P(X=0)=1-0,7=0,3.
Passo 3
(b) Valor esperado E(X).
Fórmula e motivo: para Bernoulli vale
E(X)=p.
Uma maneira de ver isso é calcular diretamente: E(X)=1\cdot P(X=1)+0\cdot P(X=0)=1\cdot p + 0\cdot(1-p)=p.
Substituindo p=0,7:
E(X)=0,7.
Passo 4
(b) Variância \operatorname{Var}(X).
Fórmula e derivação curta: \operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}. Para Bernoulli, como X\in\{0,1\} tem-se X^{2}=X, então E(X^{2})=E(X)=p. Portanto
Explicação rápida: para x<0\] nenhum valor possível de \(X é \le x, então F(x)=0. Para 0\le x<1 somente X=0 satisfaz X\le x, então F(x)=P(X=0)=0,3. Para x\ge1 ambos os valores possíveis estão \le x, então F(x)=1.]
Passo 6
(c) Probabilidade de selecionar uma pessoa que prefira café em duas tentativas consecutivas, assumindo independência.
Regra usada: se os dois eventos (preferir café na primeira e na segunda pessoa) são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
P(\text{duas pessoas preferem café})=P(X_{1}=1)\cdot P(X_{2}=1)=p\cdot p=p^{2}.é