Uma empresa fornece serviços de TV e internet para mais de 15 milhões de pessoas. Supanha que a administração da empresa avalie subjetivamente uma distribuição de probabilidade para Y= o número de novos assinates para o ano seguinte no estado de São Paulo da seguinte maneira.
Y P(Y)
100000 0,10
200000 0,20
300000 0,25
400000 0,30
500000 0,10
600000 0,05
(a) Esta é uma distribuição de probabilidade válida? Justifique.
(b) Qual é a probabilidade da empresa obter mais de 400000 novos assinantes?
(c) Calcule E(Y), \operatorname{Var}(Y), \sigma e determine F(y).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pego da tabela do enunciado):
  • Y pode assumir os valores 100000,\;200000,\;300000,\;400000,\;500000,\;600000.
  • As probabilidades associadas (peguei da tabela) são, respectivamente,
    \;P(Y=100000)=0,10,\;P(Y=200000)=0,20,\;P(Y=300000)=0,25,\;P(Y=400000)=0,30,\;P(Y=500000)=0,10,\;P(Y=600000)=0,05.
O enunciado pede:
(a) Verificar se isto é uma distribuição de probabilidade válida (justificar).
(b) Calcular P(Y>400000).
(c) Calcular E(Y),\\ \operatorname{Var}(Y),\\ \sigma (desvio padrão) e determinar a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y).

Passo 2

(a) Critério para ser distribuição de probabilidade discreta:
  • Cada probabilidade deve ser não negativa: para todo y, P(Y=y)\ge0.
  • A soma das probabilidades deve ser igual a 1: \sum_y P(Y=y)=1.
Verificando com os números da tabela:
0,10+0,20+0,25+0,30+0,10+0,05
Vamos somar passo a passo:
0,10+0,20=0,30
0,30+0,25=0,55
0,55+0,30=0,85
0,85+0,10=0,95
0,95+0,05=1,00
Todas as probabilidades são não negativas (são todas positivas) e a soma é \,1,00. Portanto, sim: isto é uma distribuição de probabilidade válida (satisfa z as duas condições).

Passo 3

(b) Probabilidade de obter mais de 400000 novos assinantes:
"Mais de 400000" significa Y>400000. Os valores possíveis maiores que 400000 na tabela são 500000 e 600000. Logo
P(Y>400000)=P(Y=500000)+P(Y=600000).
Substituindo os valores:
P(Y>400000)=0,10+0,05=0,15.

Passo 4

(c) Cálculo de E(Y). Primeiro a ideia:
  • A esperança (valor esperado) de uma v.a. discreta Y é a média ponderada dos valores possíveis, com pesos iguais às probabilidades:
E(Y)=\sum_{y} y\,P(Y=y).
Aqui cada termo será y multiplicado pela sua probabilidade.
Calculemos cada termo (mostrando os produtos):
100000\cdot0,10=10000,
200000\cdot0,20=40000,
300000\cdot0,25=75000,
400000\cdot0,30=120000,
500000\cdot0,10=50000,
600000\cdot0,05=30000.
Somando:
E(Y)=10000+40000+75000+120000+50000+30000=325000.
Portanto \;E(Y)=325000 (o número médio esperado de novos assinantes).

Passo 5

(c) Cálculo da variância \operatorname{Var}(Y). Ideia e fórmulas:
  • A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por duas fórmulas equivalentes: \operatorname{Var}(Y)=E\big[(Y-E(Y))^{2}\big]=E(Y^{2})-[E(Y)]^{2}.
A segunda fórmula costuma ser mais prática: primeiro calculamos E(Y^{2}) e depois subtraímos [E(Y)]^{2}.
Calculemos E(Y^{2})=\sum_{y} y^{2}P(Y=y). Faço os termos:
100000^{2}\cdot0,10=10\,000\,000\,000\cdot0,10=1\,000\,000\,000,
200000^{2}\cdot0,20=40\,000\,000\,000\cdot0,20=8\,000\,000\,000,
300000^{2}\cdot0,25=90\,000\,000\,000\cdot0,25=22\,500\,000\,000,
400000^{2}\cdot0,30=160\,000\,000\,000\cdot0,30=48\,000\,000\,000,
500000^{2}\cdot0,10=250\,000\,000\,000\cdot0,10=25\,000\,000\,000,
600000^{2}\cdot0,05=360\,000\,000\,000\cdot0,05=18\,000\,000\,000.
Somando esses termos:
E(Y^{2})=1\,000\,000\,000+8\,000\,000\,000+22\,500\,000\,000+48\,000\,000\,000+25\,000\,000\,000+18\,000\,000\,000
\phantom{E(Y^{2})}=122\,500\,000\,000.
Agora [E(Y)]^{2}:
[E(Y)]^{2}=325000^{2}=105\,625\,000\,000.
Logo a variância é
\operatorname{Var}(Y)=E(Y^{2})-[E(Y)]^{2}=122\,500\,000\,000-105\,625\,000\,000=16\,875\,000\,000.

Passo 6

(c) Cálculo do desvio padrão \sigma:
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}=\sqrt{16\,875\,000\,000}.
Para facilitar a conta, observe que 16\,875\,000\,000=16\,875\cdot1\,000\,000, então
\sigma=\sqrt{16\,875}\cdot1000\approx129,903810\cdot1000\approx129903,81.
Arredondando, \sigma\approx129903{,}81 (aproximadamente 1{,}299\times10^{5}).

Passo 7

(c) Determinar a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y).
  • Definição: F(y) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor ou igual a y. Para uma v.a. discreta com massas nos pontos listados, F(y) é uma função em degraus (escalonada). Vamos listar os valores de F(y) em intervalos naturais:
Para y<100000:
F(y)=0.
Para 100000\le y<200000:
F(y)=P(Y\le100000)=P(Y=100000)=0,10.
Para 200000\le y<300000:
F(y)=P(Y\le200000)=0,10+0,20=0,30.
Para 300000\le y<400000:
F(y)=P(Y\le300000)=0,30+0,25=0,55.
Para 400000\le y<500000:
F(y)=P(Y\le400000)=0,55+0,30=0,85.
Para 500000\le y<600000:
F(y)=P(Y\le500000)=0,85+0,10=0,95.
Para y\ge600000:
F(y)=1,00.
Esses valores definem completamente F(y) em todos os y\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Sim. As probabilidades são não negativas e somam 1,00\). (b) \(P(Y>400000)=0,15\). \text{(c)} \(E(Y)=325000\) \(\operatorname{Var}(Y)=16875000000\) \(\sigma\approx129903{,}81\) \(F(y)=\begin{cases} 0, & y<100000,\\[4pt] 0,10, & 100000\le y<200000,\\[4pt] 0,30, & 200000\le y<300000,\\[4pt] 0,55, & 300000\le y<400000,\\[4pt] 0,85, & 400000\le y<500000,\\[4pt] 0,95, & 500000\le y<600000,\\[4pt] 1,00, & y\ge600000. \end{cases}]

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