Uma empresa fornece serviços de TV e internet para mais de 15 milhões de pessoas. Supanha que a administração da empresa avalie subjetivamente uma distribuição de probabilidade para
o número de novos assinates para o ano seguinte no estado de São Paulo da seguinte maneira.
100000
0,10
200000
0,20
300000
0,25
400000
0,30
500000
0,10
600000
0,05
(a) Esta é uma distribuição de probabilidade válida? Justifique.
(b) Qual é a probabilidade da empresa obter mais de 400000 novos assinantes?
(c) Calcule
e determine
.
|
|
|
| 100000 | 0,10 |
| 200000 | 0,20 |
| 300000 | 0,25 |
| 400000 | 0,30 |
| 500000 | 0,10 |
| 600000 | 0,05 |
(b) Qual é a probabilidade da empresa obter mais de 400000 novos assinantes?
(c) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pego da tabela do enunciado):
-
pode assumir os valores . - As probabilidades associadas (peguei da tabela) são, respectivamente,
O enunciado pede:
(a) Verificar se isto é uma distribuição de probabilidade válida (justificar).
(b) Calcular .
(c) Calcular (desvio padrão) e determinar a função de distribuição acumulada
.
(a) Verificar se isto é uma distribuição de probabilidade válida (justificar).
(b) Calcular
(c) Calcular
Passo 2
(a) Critério para ser distribuição de probabilidade discreta:
- Cada probabilidade deve ser não negativa: para todo
, . - A soma das probabilidades deve ser igual a
: .
Verificando com os números da tabela:
Vamos somar passo a passo:
Todas as probabilidades são não negativas (são todas positivas) e a soma é
. Portanto, sim: isto é uma distribuição de probabilidade válida (satisfa z as duas condições).
Passo 3
(b) Probabilidade de obter mais de
novos assinantes:
"Mais de " significa
. Os valores possíveis maiores que
na tabela são
e
. Logo
"Mais de
Substituindo os valores:
Passo 4
(c) Cálculo de
. Primeiro a ideia:
- A esperança (valor esperado) de uma v.a. discreta
é a média ponderada dos valores possíveis, com pesos iguais às probabilidades:
Aqui cada termo será
multiplicado pela sua probabilidade.
Calculemos cada termo (mostrando os produtos):
Somando:
Portanto
(o número médio esperado de novos assinantes).
Passo 5
(c) Cálculo da variância
. Ideia e fórmulas:
- A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por duas fórmulas equivalentes:
A segunda fórmula costuma ser mais prática: primeiro calculamos
e depois subtraímos
.
Calculemos
. Faço os termos:
Somando esses termos:
Agora
:
Logo a variância é
Passo 6
(c) Cálculo do desvio padrão
:
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Para facilitar a conta, observe que
, então
Arredondando,
(aproximadamente
).
Passo 7
(c) Determinar a função de distribuição acumulada
.
- Definição:
é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor ou igual a . Para uma v.a. discreta com massas nos pontos listados, é uma função em degraus (escalonada). Vamos listar os valores de em intervalos naturais:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses valores definem completamente
em todos os
.
Resposta
(a) Sim. As probabilidades são não negativas e somam
]