Um dado de 8 faces (octaedro) justo é lançado uma vez, e o resultado da face voltada para cima é registrado. Sabendo que as possíveis faces do dado são X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} e que todas têm a mesma probabilidade de ocorrer:
(a) Determine a função de probabilidade P(X=x) para x=1,2,3,4,5,6,7,8.
(b) Calcule o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X) da distribuição.
(c) Determine a função de distribuição acumulada.
(d) Qual é a probabilidade de que o número observado seja maior que 4?

Passo 1

O enunciado dá um lançamento de um dado de 8 faces com espaço amostral \,X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\, e informa que todas as faces têm a mesma probabilidade. As perguntas são:
(a) Determinar a função de probabilidade P(X=x) para x=1,2,\dots,8.
(b) Calcular o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X).
(c) Determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
(d) Calcular P(X>4).

Passo 2

(a) Como todas as 8 faces são igualmente prováveis, cada resultado tem probabilidade igual. A função de probabilidade discreta de uma variável uniforme finita é
P(X=x)=\frac{1}{\#\text{resultados}}=\frac{1}{8}
para cada x\in\{1,2,\dots,8\}, e P(X=x)=0 para x\notin\{1,\dots,8\}.
Explicando passo a passo: a soma das probabilidades de todos os resultados deve ser 1. Se cada um tem a mesma probabilidade p, então 8p=1, logo p=1/8. Portanto P(X=x)=1/8 para cada face.

Passo 3

(b) Cálculo do valor esperado E(X).
Definição usada: para uma variável discreta X,
E(X)=\sum_{x} x\,P(X=x).
Aqui a soma é sobre x=1,\dots,8 e P(X=x)=1/8. Então
E(X)=\sum_{x=1}^{8} x\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\sum_{x=1}^{8} x.
Calculando \sum_{x=1}^{8} x: pode-se emparelhar 1+8=9,\;2+7=9,\;3+6=9,\;4+5=9. Há 4 pares de soma 9, logo a soma total é 4\cdot9=36. Portanto
E(X)=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}=4{,}5.

Passo 4

(b) Cálculo da variância \operatorname{Var}(X).
Definição usada: \operatorname{Var}(X)=E\big(X^2\big)-\big(E(X)\big)^2.
Primeiro calculamos E(X^2)=\sum_{x=1}^{8} x^2 P(X=x)=\dfrac{1}{8}\sum_{x=1}^{8} x^2.
Fórmula útil (soma dos quadrados dos primeiros n inteiros):
\sum_{x=1}^{n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Aqui n=8, então
\sum_{x=1}^{8} x^2=\frac{8\cdot9\cdot17}{6}=\frac{1224}{6}=204.
Logo
E(X^2)=\frac{204}{8}=25{,}5.
Agora
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=25{,}5-(4{,}5)^2=25{,}5-20{,}25=5{,}25.
Em forma de fração \operatorname{Var}(X)=\dfrac{21}{4}.
Observação rápida (fórmula alternativa): para a distribuição uniforme discreta em \{1,\dots,n\} vale \operatorname{Var}(X)=\dfrac{n^2-1}{12}. Com n=8 isso dá \dfrac{64-1}{12}=\dfrac{63}{12}=\dfrac{21}{4}=5{,}25, que coincide com o resultado acima.

Passo 5

(c) Função de distribuição acumulada [F(x)=P(X\le x)).
Explicando: para variável discreta com valores inteiros 1,\dots,8, F(x) é peça-por-peça constante entre inteiros e aumenta em saltos de tamanho 1/8 em cada inteiro. Assim, para todo x\in\mathbb{R},
F(x)=\begin{cases} 0, & \text{se }x<1,\\[4pt] \dfrac{1}{8}, & \text{se }1\le x<2,\\[4pt] \dfrac{2}{8}, & \text{se }2\le x<3,\\[4pt] \dfrac{3}{8}, & \text{se }3\le x<4,\\[4pt] \dfrac{4}{8}, & \text{se }4\le x<5,\\[4pt] \dfrac{5}{8}, & \text{se }5\le x<6,\\[4pt] \dfrac{6}{8}, & \text{se }6\le x<7,\\[4pt] \dfrac{7}{8}, & \text{se }7\le x<8,\\[4pt] 1, & \text{se }x\ge 8. \end{cases}
Observação compacta: para inteiro k\] com \(1\le k\le 8, F(k)=\dfrac{k}{8}.]

Passo 6

(d) Probabilidade de que o número observado seja maior que 4.
Podemos contar os resultados favoráveis: \{5,6,7,8\}, são 4 resultados de um total de 8. Portanto
P(X>4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Também pode ser calculado por P(X>4)=1-P(X\le4)=1-\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.

Resposta

(a) P(X=x)=\dfrac{1}{8}\) para \(x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) e \(P(X=x)=0\) para \(x\notin\{1,\dots,8\}.\) (b) \(E(X)=4{,}5,\qquad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{21}{4}=5{,}25.\) \text{(c)} \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] \dfrac{1}{8}, & 1\le x<2,\\[4pt] \dfrac{2}{8}, & 2\le x<3,\\[4pt] \dfrac{3}{8}, & 3\le x<4,\\[4pt] \dfrac{4}{8}, & 4\le x<5,\\[4pt] \dfrac{5}{8}, & 5\le x<6,\\[4pt] \dfrac{6}{8}, & 6\le x<7,\\[4pt] \dfrac{7}{8}, & 7\le x<8,\\[4pt] 1, & x\ge 8, \end{cases}
(d) (P(X>4)=\dfrac{1}{2}.]]

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