Um dado de 8 faces (octaedro) justo é lançado uma vez, e o resultado da face voltada para cima é registrado. Sabendo que as possíveis faces do dado são X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} e que todas têm a mesma probabilidade de ocorrer:
(a) Determine a função de probabilidade P(X=x) para x=1,2,3,4,5,6,7,8.
(b) Calcule o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X) da distribuição.
(c) Determine a função de distribuição acumulada.
(d) Qual é a probabilidade de que o número observado seja maior que 4?
Passo 1
O enunciado dá um lançamento de um dado de 8 faces com espaço amostral \,X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\, e informa que todas as faces têm a mesma probabilidade. As perguntas são:
(a) Determinar a função de probabilidade P(X=x) para x=1,2,\dots,8.
(b) Calcular o valor esperado E(X) e a variância \operatorname{Var}(X).
(c) Determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
(d) Calcular P(X>4).
Passo 2
(a) Como todas as 8 faces são igualmente prováveis, cada resultado tem probabilidade igual. A função de probabilidade discreta de uma variável uniforme finita é
P(X=x)=\frac{1}{\#\text{resultados}}=\frac{1}{8}
para cada x\in\{1,2,\dots,8\}, e P(X=x)=0 para x\notin\{1,\dots,8\}.
Explicando passo a passo: a soma das probabilidades de todos os resultados deve ser 1. Se cada um tem a mesma probabilidade p, então 8p=1, logo p=1/8. Portanto P(X=x)=1/8 para cada face.
Passo 3
(b) Cálculo do valor esperado E(X).
Definição usada: para uma variável discreta X,
E(X)=\sum_{x} x\,P(X=x).
Aqui a soma é sobre x=1,\dots,8 e P(X=x)=1/8. Então
Em forma de fração \operatorname{Var}(X)=\dfrac{21}{4}.
Observação rápida (fórmula alternativa): para a distribuição uniforme discreta em \{1,\dots,n\} vale \operatorname{Var}(X)=\dfrac{n^2-1}{12}. Com n=8 isso dá \dfrac{64-1}{12}=\dfrac{63}{12}=\dfrac{21}{4}=5{,}25, que coincide com o resultado acima.
Passo 5
(c) Função de distribuição acumulada [F(x)=P(X\le x)).
Explicando: para variável discreta com valores inteiros 1,\dots,8, F(x) é peça-por-peça constante entre inteiros e aumenta em saltos de tamanho 1/8 em cada inteiro. Assim, para todo x\in\mathbb{R},