Considere uma mola ideal de constante elástica
suspensa verticalmente por uma de suas extremidades, em um local onde a aceleração da gravidade vale
. Despreze a possível ação de forças dissipativas. (a) Mostrar que, sendo
a posição da extremidade livre da mola, ao se pendurar nela um corpo de massa
a nova posição de equilíbrio estático é dada por
. (b) Mostrar que a equação de movimento do sistema massa-mola é
e que a solução da mesma é dada por
com
. Portanto, os valores de velocidade, aceleração, período, freqüência e freqüência angular do MHS sob ação da gravidade são os mesmos que na ausência dela, com a única diferença que a posição de equilíbrio foi deslocada de mg/k. (c) A energia do sistema é dada por,
onde
é a distância do nível do solo à posição
(posição da extremidade livre da mola na vertical sem o corpo pendurado). Sabendo que a energia é constante, derive a expressāo da energia em relação ao tempo e mostre que se obtém a equação de movimento do sistema.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Dados e convenções que vamos usar:
- Uma mola ideal de constante elástica
está presa por uma extremidade e suspensa verticalmente. - A outra extremidade (livre) está em
. Vamos tomar o eixo apontando para baixo (ou seja, deslocamentos positivos são para baixo); isso facilita porque a gravidade atua para baixo. - Um corpo de massa
é pendurado na extremidade livre e pode oscilar sem forças dissipativas. A aceleração da gravidade tem valor . - Chamarei de
a posição (para baixo) do corpo em relação a . A velocidade é e a aceleração é . -
é a distância do nível do solo até a posição (essa informação aparecerá na parte da energia). - O enunciado pede:
(a) mostrar que a nova posição de equilíbrio estático é;
(b) mostrar que a equação de movimento é, resolver a equação e obter com . Concluir que velocidade, aceleração, período, frequência e frequência angular são os mesmos do caso sem gravidade, apenas a posição de equilíbrio foi deslocada;
(c) partindo da energiaescrever a energia em função do tempo (usando a relação entre e ), mostrar que é constante e obter a equação de movimento a partir da conservação da energia.
- Uma mola ideal de constante elástica
Passo 2
(a) Encontrar a posição de equilíbrio estático
.
Explicando a física: em equilíbrio estático a soma das forças sobre a massa é zero. Usando o eixo para baixo como positivo:
- A força peso é
(para baixo, portanto signo na soma de forças escalar). - A força elástica da mola (lei de Hooke) tem intensidade
e atua para cima, isto é, oposta ao deslocamento para baixo. Em nosso eixo, isso corresponde a .
Equilíbrio estático -> soma das forças é zero:
Isolando
:
Comentário didático: isso significa que a mola estica uma distância
até equilibrar o peso. É somente a condição de forças (não envolve dinâmica).
Passo 3
(b) Obter a equação de movimento e resolvê‑la.
- Equação de Newton (dinâmica). Aplicando a segunda lei de Newton (eixo para baixo positivo):
As forças são peso
(para baixo) e a força elástica
(para cima). Logo
Rearranjando:
Isto é exatamente a equação pedida. Observação: a presença do termo constante
vem da gravidade; se
voltamos ao caso usual do MHS homogêneo.
- Resolver a equação. É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O procedimento padrão é obter a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular.
- Equação homogênea:
Procuramos soluções
. Substituindo, obtemos a relação
Portanto a parte homogênea é
com
.
- Solução particular constante (por ser termo constante
): procure constante. Substituindo na equação obtém-se
Esse
é exatamente a posição de equilíbrio estático encontrada antes.
- Solução geral:
Podemos reescrever a combinação
na forma de amplitude-fase:
onde
e
é a fase determinada por
e
.
- Velocidade e aceleração:
Repare que as expressões de
e
dependem de
e
exatamente como no MHS sem gravidade, porque a parte gravitacional é apenas um deslocamento da posição média.
- Período, frequência e frequência angular:
Conclusão didática: a gravidade desloca a posição de equilíbrio em
mas não altera a frequência nem o período — o movimento é um MHS em torno da nova posição de equilíbrio.
Passo 4
(c) Energia: escrever
e derivar a equação de movimento a partir da conservação.
- Interpretação das variáveis na energia dada. O enunciado dá
onde
é a distância do solo até a posição
e
é a coordenada da massa medida do solo. Precisamos relacionar
com
. Com a convenção adotada (eixo
para baixo a partir de
), a distância da massa ao solo é
Então
Portanto, modulo uma constante, a expressão dada para a energia é equivalente a
(O termo constante vem de
; constantes de referência de energia não afetam a dinâmica.)
- Escrever a energia conveniente (escolhendo a constante zero) como
Essa é a energia mecânica total: energia cinética
energia potencial elástica
energia potencial gravitacional (com escolha de referência).
- Mostrar que
é constante e que a preservação de dá a equação de movimento. Diferenciando em relação ao tempo:
Colocar em evidência
:
Pela hipótese de ausência de forças dissipativas, a energia mecânica é conservada, logo
para todo
. Assim, para instantes em que
(e por continuidade para todo
) deve valer
ou seja
que é exatamente a equação de movimento obtida por Newton na parte (b). Portanto a conservação de energia leva à mesma equação diferencial.
- Energia em função do tempo usando a solução encontrada. Defina deslocamento em torno do equilíbrio:
Então
. Substitua em
(escolhendo a constante de energia convenientemente):
Usando
, simplifica-se (os termos lineares em
cancelam):
Mas
(porque
), que é uma constante. Logo a parte que depende do tempo é
Para
e
obtemos
Como
, as duas parcelas somam uma constante:
Portanto a energia total é uma constante (essa constante somada ao termo fixo anterior dá o valor absoluto de
). Isso confirma que a energia é constante no tempo e que a amplitude
determina o valor da energia dinâmica do MHS em torno do equilíbrio.
Resposta
(a)
(b)
(c) Em coordenadas tomadas acima,
que ao derivar no tempo dá
e, portanto, a conservação de energia implica
. Além disso, substituindo
obtém‑se
, constante no tempo.