Considere uma mola ideal de constante elástica k suspensa verticalmente por uma de suas extremidades, em um local onde a aceleração da gravidade vale g. Despreze a possível ação de forças dissipativas. (a) Mostrar que, sendo x=0 a posição da extremidade livre da mola, ao se pendurar nela um corpo de massa m a nova posição de equilíbrio estático é dada por x=m g / k. (b) Mostrar que a equação de movimento do sistema massa-mola é
m \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+k x=m g,
e que a solução da mesma é dada por
x=x_{m} \cos (\omega t+\varphi)+\frac{m g}{k},
com \omega^{2}=k / m. Portanto, os valores de velocidade, aceleração, período, freqüência e freqüência angular do MHS sob ação da gravidade são os mesmos que na ausência dela, com a única diferença que a posição de equilíbrio foi deslocada de mg/k. (c) A energia do sistema é dada por,
E=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}+m g(h-y),
onde h é a distância do nível do solo à posição x=0 (posição da extremidade livre da mola na vertical sem o corpo pendurado). Sabendo que a energia é constante, derive a expressāo da energia em relação ao tempo e mostre que se obtém a equação de movimento do sistema.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dados e convenções que vamos usar:
    • Uma mola ideal de constante elástica k está presa por uma extremidade e suspensa verticalmente.
    • A outra extremidade (livre) está em x=0. Vamos tomar o eixo x apontando para baixo (ou seja, deslocamentos positivos são para baixo); isso facilita porque a gravidade atua para baixo.
    • Um corpo de massa m é pendurado na extremidade livre e pode oscilar sem forças dissipativas. A aceleração da gravidade tem valor g.
    • Chamarei de x(t) a posição (para baixo) do corpo em relação a x=0. A velocidade é v=\dot x e a aceleração é a=\ddot x.
    • h é a distância do nível do solo até a posição x=0 (essa informação aparecerá na parte da energia).
    • O enunciado pede:
      (a) mostrar que a nova posição de equilíbrio estático é \displaystyle x=\frac{m g}{k};
      (b) mostrar que a equação de movimento é \displaystyle m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2}+k x=m g, resolver a equação e obter \displaystyle x=x_m\cos(\omega t+\varphi)+\frac{m g}{k} com \omega^2=\dfrac{k}{m}. Concluir que velocidade, aceleração, período, frequência e frequência angular são os mesmos do caso sem gravidade, apenas a posição de equilíbrio foi deslocada;
      (c) partindo da energia E=\frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}k x^2+m g(h-y),escrever a energia em função do tempo (usando a relação entre y e x), mostrar que é constante e obter a equação de movimento a partir da conservação da energia.

Passo 2

(a) Encontrar a posição de equilíbrio estático x_{\text{eq}}.
Explicando a física: em equilíbrio estático a soma das forças sobre a massa é zero. Usando o eixo para baixo como positivo:
  • A força peso é \displaystyle \vec F_g = m g (para baixo, portanto signo +m g na soma de forças escalar).
  • A força elástica da mola (lei de Hooke) tem intensidade k x e atua para cima, isto é, oposta ao deslocamento para baixo. Em nosso eixo, isso corresponde a \displaystyle -k x.
Equilíbrio estático -> soma das forças é zero:
m g - k x_{\text{eq}} = 0.
Isolando x_{\text{eq}}:
x_{\text{eq}}=\frac{m g}{k}.
Comentário didático: isso significa que a mola estica uma distância \dfrac{m g}{k} até equilibrar o peso. É somente a condição de forças (não envolve dinâmica).

Passo 3

(b) Obter a equação de movimento e resolvê‑la.
  1. Equação de Newton (dinâmica). Aplicando a segunda lei de Newton (eixo para baixo positivo):
\text{soma das forças} = m \ddot x.ç
As forças são peso +m g (para baixo) e a força elástica -k x (para cima). Logo
m \ddot x = m g - k x.
Rearranjando:
m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2}+k x = m g.
Isto é exatamente a equação pedida. Observação: a presença do termo constante m g vem da gravidade; se g=0 voltamos ao caso usual do MHS homogêneo.
  1. Resolver a equação. É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O procedimento padrão é obter a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular.
  • Equação homogênea:
m\ddot x + k x = 0.
Procuramos soluções x_h(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t). Substituindo, obtemos a relação
m(-\omega^2) + k = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega^2=\frac{k}{m}.
Portanto a parte homogênea é
x_h(t) = A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Solução particular constante (por ser termo constante m g): procure x_p= constante. Substituindo x_p na equação m\cdot 0 + k x_p = m g obtém-se
x_p = \frac{m g}{k}.
Esse x_p é exatamente a posição de equilíbrio estático encontrada antes.
  • Solução geral:
x(t) = x_h(t) + x_p = A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{m g}{k}.
Podemos reescrever a combinação A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) na forma de amplitude-fase:
x(t) = x_m\cos(\omega t+\varphi)+\frac{m g}{k},
onde x_m=\sqrt{A^2+B^2} e \varphi é a fase determinada por A e B.
  1. Velocidade e aceleração:
v(t)=\dot x(t) = -\omega x_m\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\ddot x(t) = -\omega^2 x_m\cos(\omega t+\varphi).
Repare que as expressões de v e a dependem de \omega e x_m exatamente como no MHS sem gravidade, porque a parte gravitacional é apenas um deslocamento da posição média.
  1. Período, frequência e frequência angular:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Conclusão didática: a gravidade desloca a posição de equilíbrio em \dfrac{m g}{k} mas não altera a frequência nem o período — o movimento é um MHS em torno da nova posição de equilíbrio.

Passo 4

(c) Energia: escrever E(t) e derivar a equação de movimento a partir da conservação.
  1. Interpretação das variáveis na energia dada. O enunciado dá
E=\frac{1}{2}m v^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}+m g(h-y),
onde h é a distância do solo até a posição x=0 e y é a coordenada da massa medida do solo. Precisamos relacionar y com x. Com a convenção adotada (eixo x para baixo a partir de x=0), a distância da massa ao solo é
y=h+x.
Então
m g(h-y)=m g(h-(h+x))=-m g x.
Portanto, modulo uma constante, a expressão dada para a energia é equivalente a
E=\frac{1}{2}m\dot x^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}-m g x + \text{const}.
(O termo constante vem de mgh; constantes de referência de energia não afetam a dinâmica.)
  1. Escrever a energia conveniente (escolhendo a constante zero) como
E=\frac{1}{2}m\dot x^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}-m g x.
Essa é a energia mecânica total: energia cinética + energia potencial elástica + energia potencial gravitacional (com escolha de referência).
  1. Mostrar que E é constante e que a preservação de E dá a equação de movimento. Diferenciando E em relação ao tempo:
\frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}=m\dot x\ddot x + k x\dot x - m g \dot x.
Colocar em evidência \dot x:
\frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}=\dot x\left(m\ddot x + k x - m g\right).
Pela hipótese de ausência de forças dissipativas, a energia mecânica é conservada, logo \dfrac{\mathrm dE}{\mathrm d t}=0 para todo t. Assim, para instantes em que \dot x\neq 0 (e por continuidade para todo t) deve valer
m\ddot x + k x - m g = 0,
ou seja
m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2}+k x = m g,
que é exatamente a equação de movimento obtida por Newton na parte (b). Portanto a conservação de energia leva à mesma equação diferencial.
  1. Energia em função do tempo usando a solução encontrada. Defina deslocamento em torno do equilíbrio:
X(t)=x(t)-x_{\text{eq}}=x(t)-\frac{m g}{k}=x_m\cos(\omega t+\varphi).
Então \dot X=\dot x=\,-\omega x_m\sin(\omega t+\varphi). Substitua em E (escolhendo a constante de energia convenientemente):
E=\frac{1}{2}m\dot X^{2}+\frac{1}{2}k(X+x_{\text{eq}})^{2}-m g (X+x_{\text{eq}}).
Usando m g = k x_{\text{eq}}, simplifica-se (os termos lineares em X cancelam):
E=\frac{1}{2}m\dot X^{2}+\frac{1}{2}k X^{2} + \left(\frac{1}{2}k x_{\text{eq}}^{2}-m g x_{\text{eq}}\right).
Mas \dfrac{1}{2}k x_{\text{eq}}^{2}-m g x_{\text{eq}}=-\dfrac{1}{2}k x_{\text{eq}}^{2} (porque m g=k x_{\text{eq}}), que é uma constante. Logo a parte que depende do tempo é
E_{\text{din}}(t)=\frac{1}{2}m\dot X^{2}+\frac{1}{2}k X^{2}.
Para X(t)=x_m\cos(\omega t+\varphi) e \dot X(t)=-\omega x_m\sin(\omega t+\varphi) obtemos
E_{\text{din}}(t)=\frac{1}{2}m\omega^{2} x_m^{2}\sin^{2}(\dots)+\frac{1}{2}k x_m^{2}\cos^{2}(\dots).
Como k=m\omega^{2}, as duas parcelas somam uma constante:
E_{\text{din}}(t)=\frac{1}{2}k x_m^{2}.
Portanto a energia total é uma constante (essa constante somada ao termo fixo anterior dá o valor absoluto de E). Isso confirma que a energia é constante no tempo e que a amplitude x_m determina o valor da energia dinâmica do MHS em torno do equilíbrio.

Resposta

(a) \displaystyle x=\frac{m g}{k}
(b) \displaystyle m\frac{\mathrm d^{2}x}{\mathrm d t^{2}}+k x=m g,\qquad x(t)=x_{m}\cos(\omega t+\varphi)+\frac{m g}{k},\qquad \omega^{2}=\frac{k}{m}.
(c) Em coordenadas tomadas acima,
E=\frac{1}{2}m\dot x^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}-m g x=\text{const},
que ao derivar no tempo dá
\dot x\bigl(m\ddot x+k x-m g\bigr)=0
e, portanto, a conservação de energia implica \displaystyle m\ddot x+k x=m g. Além disso, substituindo x(t)=x_m\cos(\omega t+\varphi)+\dfrac{mg}{k} obtém‑se E_{\text{din}}=\dfrac{1}{2}k x_m^{2}, constante no tempo.

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