Resolva as equações e inequações que se seguem:
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a inequação
Informações importantes dadas:
- É uma inequação do 1.º grau em
. - Os denominadores nas frações são
e . - A desigualdade é estrita (sinal
), portanto o valor em que os dois lados seriam iguais não pertence à solução.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão com frações antes de manipular a desigualdade. Primeiro observe que
pois
. Substituindo, a inequação fica
Passo 3
Para eliminar as frações de forma segura podemos multiplicar ambos os lados por um número positivo que seja múltiplo comum dos denominadores. Os denominadores são
e
; um múltiplo comum conveniente é
. Lembrando a regra: multiplicar ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo preserva o sinal. Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Calcule cada produto:
Então a inequação vira
Passo 5
Agora expandimos e simplificamos o lado esquerdo:
Portanto a inequação reduz-se a
Passo 6
Isolamos
. Primeiro somamos
em ambos os membros (somar o mesmo número preserva a desigualdade):
ou seja
Agora dividimos ambos os membros por
. Como
é positivo, o sentido da desigualdade não se altera:
Passo 7
Simplificando a fração:
logo a solução é
Passo 8
Cheque rápido por substituição para ganhar confiança: para
temos
funciona. Para
obtemos igualdade
, que não satisfaz a desigualdade estrita, então
não pertence à solução.