Resolva as equações e inequações que se seguem:
\frac{4 x}{5}-\frac{2(x+7)}{4}<4

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a inequação
\frac{4x}{5}-\frac{2(x+7)}{4}<4.
Informações importantes dadas:
  • É uma inequação do 1.º grau em x.
  • Os denominadores nas frações são 5 e 4.
  • A desigualdade é estrita (sinal <), portanto o valor em que os dois lados seriam iguais não pertence à solução.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão com frações antes de manipular a desigualdade. Primeiro observe que
\frac{2(x+7)}{4}=\frac{1}{2}(x+7)=\frac{x+7}{2},
pois 2/4=1/2. Substituindo, a inequação fica
\frac{4x}{5}-\frac{x+7}{2}<4.

Passo 3

Para eliminar as frações de forma segura podemos multiplicar ambos os lados por um número positivo que seja múltiplo comum dos denominadores. Os denominadores são 5 e 2; um múltiplo comum conveniente é 10. Lembrando a regra: multiplicar ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo preserva o sinal. Multiplicando por 10 obtemos
10\cdot\frac{4x}{5}-10\cdot\frac{x+7}{2}<10\cdot 4.

Passo 4

Calcule cada produto:
10\cdot\frac{4x}{5}=8x, \qquad 10\cdot\frac{x+7}{2}=5(x+7), \qquad 10\cdot 4=40.
Então a inequação vira
8x-5(x+7)<40.

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos o lado esquerdo:
8x-5(x+7)=8x-5x-35=3x-35.
Portanto a inequação reduz-se a
3x-35<40.

Passo 6

Isolamos x. Primeiro somamos 35 em ambos os membros (somar o mesmo número preserva a desigualdade):
3x<40+35,
ou seja
3x<75.
Agora dividimos ambos os membros por 3. Como 3 é positivo, o sentido da desigualdade não se altera:
x<\frac{75}{3}.

Passo 7

Simplificando a fração:
\frac{75}{3}=25,
logo a solução é
x<25.

Passo 8

Cheque rápido por substituição para ganhar confiança: para x=24 temos
\frac{4\cdot24}{5}-\frac{2(24+7)}{4}=\frac{96}{5}-\frac{62}{4}=19{,}2-15{,}5=3{,}7<4,
funciona. Para x=25 obtemos igualdade 4, que não satisfaz a desigualdade estrita, então 25 não pertence à solução.

Resposta

x<25

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