Resolva as equações e inequações que se seguem:
\frac{x}{2}+3 x-\frac{5 x}{2}=x-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{x}{2}+3x-\frac{5x}{2}=x-6.
Então a pergunta é: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são exatamente os termos da equação acima.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o lado esquerdo, que tem termos semelhantes (todos são múltiplos de x). Lembrete rápido: termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal (aqui todos têm x); para somá-los somamos os coeficientes numéricos. Para somar frações com denominador igual usamos a soma dos numeradores sobre o denominador.
Colocar todos os termos do lado esquerdo com denominador 2 facilita a soma. Escrevemos 3x como \dfrac{6x}{2}. Assim:
\frac{x}{2}+3x-\frac{5x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{6x}{2}-\frac{5x}{2}.

Passo 3

Agora somamos os numeradores (todas as parcelas têm denominador 2):
\frac{x+6x-5x}{2}=\frac{(x+6x-5x)}{2}=\frac{2x}{2}.
Simplificando \dfrac{2x}{2} obtemos x. Portanto o lado esquerdo da equação simplifica-se para x.

Passo 4

Substituindo essa simplificação na equação original, temos
x = x - 6.
Para isolar o x subtraímos x de ambos os lados (isso é permitido porque operações iguais em ambos os lados preservam a igualdade):
x - x = x - x - 6 \quad\Longrightarrow\quad 0 = -6.

Passo 5

Obtivemos a igualdade 0 = -6, que é uma contradição (uma afirmação falsa que independe de x). Isso significa que não existe nenhum número x que torne a equação verdadeira. Em termos de classificação: a equação é inconsistente e não tem solução (o conjunto solução é vazio). Para comparar, se em vez disso tivéssemos acabado com uma identidade verdadeira como 0=0, isso indicaria infinitas soluções; aqui temos o caso oposto.
Resumo do raciocínio: ao simplificar o lado esquerdo chegamos a x=x-6, que leva à contradição 0=-6. Logo a equação não é satisfeita por nenhum x.

Resposta

\varnothing

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