Um bastão de madeira de comprimento
tem 3/4 de seu comprimento submerso na água quando em equilíbrio. (a) Determine a densidade da madeira. Com um leve empurrão ou puxão, pode-se por o bastão para oscilar verticalmente. (b) Desprezando-se o atrito com a água, mostre que ele executa um MHS com freqüência
Passo 1
O enunciado dá um bastão de madeira de comprimento
que, em equilíbrio flutuando na água, tem
do seu comprimento submerso. As perguntas são:
- (a) Determinar a densidade da madeira.
- (b) Desprezando atrito com a água, mostrar que pequenas oscilações verticais do bastão são movimento harmônico simples (MHS) com frequência
Informações e quantidades relevantes que vamos usar (variáveis que introduzo):
-
: comprimento total do bastão (dado). -
: área da secção transversal do bastão (não é dada numericamente, mas será usada simbolicamente). -
: densidade da madeira (incógnita que queremos). -
: densidade da água (valor conhecido como referência; numericamente costuma ser , mas vou manter simbólico). -
: aceleração da gravidade. - Massa do bastão:
. - Na posição de equilíbrio, comprimento submerso
. - Em (b) vamos desprezar atrito e considerar pequenas deslocamentos verticais do bastão em torno da posição de equilíbrio.
Passo 2
Relembrando um princípio físico importante (aula rápida): o princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo (ou força de flutuação) sobre um corpo imerso num fluido é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmulas:
Para o bastão, o volume deslocado é
, onde
é o comprimento submerso. Assim, para um comprimento submerso
,
O peso do bastão é
Passo 3
Agora uso o equilíbrio estático fornecido pelo enunciado: quando o bastão flutua em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso. Usei que peguei do enunciado que
. Então
Substituindo as expressões:
Cancelei fatores comuns (
) e resolvi para
:
Isto responde (a) de forma simbólica: a densidade da madeira é três quartos da densidade da água. Se for preciso um valor numérico comum, com
obtém-se
.
Passo 4
Parte (b): modelagem das pequenas oscilações verticais. Vou definir uma coordenada
que mede o deslocamento vertical do bastão positivo para cima a partir da posição de equilíbrio. Assim:
- Na posição de equilíbrio
e o comprimento submerso é . - Se o bastão subir uma pequena distância
, o comprimento submerso diminui para . - Se o bastão descer (
), o comprimento submerso aumenta para com negativo.
Note que o empuxo como função de
é linear em
, portanto
O peso
é constante no tempo. A força resultante na direção vertical (tomando positivo para cima) é
Passo 5
Usando que em equilíbrio
(ou seja,
), podemos simplificar a expressão para a força resultante:
Portanto a força resultante é proporcional a
; isso já tem a forma de força elástica restauradora linear. Não foi preciso fazer aproximação de série: a relação é exata porque o empuxo varia linearmente com a porção submersa.
Passo 6
Agora escrevo a segunda lei de Newton para o movimento vertical do bastão (massa concentrada, pois é rígido e se move verticalmente como um corpo inteiro):
onde
. Substituindo
obtém-se
Cancelando
e reorganizando:
Isto é a equação do MHS com frequência angular
dada por
Passo 7
Substituo o valor de
encontrado em (a),
. Então
Logo
A frequência (ciclos por segundo) é
, portanto
Isso mostra que as pequenas oscilações verticais são MHS com a frequência pedida. Bom trabalho — o passo-chave era perceber que o empuxo muda linearmente com o comprimento submerso, fornecendo uma força restauradora proporcional ao deslocamento.