Um bastão de madeira de comprimento l tem 3/4 de seu comprimento submerso na água quando em equilíbrio. (a) Determine a densidade da madeira. Com um leve empurrão ou puxão, pode-se por o bastão para oscilar verticalmente. (b) Desprezando-se o atrito com a água, mostre que ele executa um MHS com freqüência
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4}{3} \frac{g}{l}}

Passo 1

O enunciado dá um bastão de madeira de comprimento l que, em equilíbrio flutuando na água, tem \tfrac{3}{4} do seu comprimento submerso. As perguntas são:
  • (a) Determinar a densidade da madeira.
  • (b) Desprezando atrito com a água, mostrar que pequenas oscilações verticais do bastão são movimento harmônico simples (MHS) com frequência f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4}{3}\frac{g}{l}}.
Informações e quantidades relevantes que vamos usar (variáveis que introduzo):
  • l: comprimento total do bastão (dado).
  • A: área da secção transversal do bastão (não é dada numericamente, mas será usada simbolicamente).
  • \rho: densidade da madeira (incógnita que queremos).
  • \rho_w: densidade da água (valor conhecido como referência; numericamente costuma ser \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, mas vou manter simbólico).
  • g: aceleração da gravidade.
  • Massa do bastão: m=\rho A l.
  • Na posição de equilíbrio, comprimento submerso s_0=\tfrac{3}{4}l.
  • Em (b) vamos desprezar atrito e considerar pequenas deslocamentos verticais do bastão em torno da posição de equilíbrio.

Passo 2

Relembrando um princípio físico importante (aula rápida): o princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo (ou força de flutuação) sobre um corpo imerso num fluido é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmulas:
\text{empuxo } B = \rho_w g \times (\text{volume do fluido deslocado}).
Para o bastão, o volume deslocado é A\cdot s, onde s é o comprimento submerso. Assim, para um comprimento submerso s,
B(s)=\rho_w g A s.
O peso do bastão é
W = m g = \rho A l g.

Passo 3

Agora uso o equilíbrio estático fornecido pelo enunciado: quando o bastão flutua em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso. Usei que peguei do enunciado que s_0=\tfrac{3}{4}l. Então
B(s_0)=W.
Substituindo as expressões:
\rho_w g A \left(\tfrac{3}{4}l\right) = \rho A l g.
Cancelei fatores comuns ( g,A,l\neq0) e resolvi para \rho:
\rho_w \cdot \tfrac{3}{4} = \rho \quad\Rightarrow\quad \rho=\tfrac{3}{4}\rho_w.
Isto responde (a) de forma simbólica: a densidade da madeira é três quartos da densidade da água. Se for preciso um valor numérico comum, com \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3} obtém-se \rho=750\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Parte (b): modelagem das pequenas oscilações verticais. Vou definir uma coordenada x(t) que mede o deslocamento vertical do bastão positivo para cima a partir da posição de equilíbrio. Assim:
  • Na posição de equilíbrio x=0 e o comprimento submerso é s_0=\tfrac{3}{4}l.
  • Se o bastão subir uma pequena distância x>0, o comprimento submerso diminui para s=s_0-x.
  • Se o bastão descer ( x<0), o comprimento submerso aumenta para s=s_0-x com x negativo.
Note que o empuxo como função de x é linear em s, portanto
B(x)=\rho_w g A (s_0-x)=\rho_w g A s_0 - \rho_w g A x.
O peso W=\rho A l g é constante no tempo. A força resultante na direção vertical (tomando positivo para cima) é
F(x)=B(x)-W.

Passo 5

Usando que em equilíbrio B(0)=W (ou seja, \rho_w g A s_0 = \rho A l g), podemos simplificar a expressão para a força resultante:
F(x)=\bigl(\rho_w g A s_0 - \rho A l g\bigr) - \rho_w g A x = 0 - \rho_w g A x = -\rho_w g A x.
Portanto a força resultante é proporcional a -x; isso já tem a forma de força elástica restauradora linear. Não foi preciso fazer aproximação de série: a relação é exata porque o empuxo varia linearmente com a porção submersa.

Passo 6

Agora escrevo a segunda lei de Newton para o movimento vertical do bastão (massa concentrada, pois é rígido e se move verticalmente como um corpo inteiro):
m \ddot{x} = F(x),
onde m=\rho A l. Substituindo F(x) obtém-se
\rho A l \,\ddot{x} = -\rho_w g A x.
Cancelando A e reorganizando:
\ddot{x} + \frac{\rho_w}{\rho l}\, g\, x = 0.
Isto é a equação do MHS com frequência angular \omega dada por
\omega^2 = \frac{\rho_w}{\rho l}\, g.

Passo 7

Substituo o valor de \rho encontrado em (a), \rho=\tfrac{3}{4}\rho_w. Então
\frac{\rho_w}{\rho} = \frac{\rho_w}{\tfrac{3}{4}\rho_w} = \frac{4}{3}.
Logo
\omega^2 = \frac{4}{3}\frac{g}{l}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{4}{3}\frac{g}{l}}.
A frequência (ciclos por segundo) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}, portanto
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4}{3}\frac{g}{l}}.
Isso mostra que as pequenas oscilações verticais são MHS com a frequência pedida. Bom trabalho — o passo-chave era perceber que o empuxo muda linearmente com o comprimento submerso, fornecendo uma força restauradora proporcional ao deslocamento.

Resposta

\rho=\tfrac{3}{4}\rho_w (ou, numericamente, \rho=750\\ \mathrm{kg/m^3} se \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3})\n
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4}{3}\frac{g}{l}}

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