Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por
, onde
é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e
é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio
. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que
(colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Aplicando-se a
lei de Newton para o movimento, demonstre que o movimento é periódico e harmônico com a posição em função do tempo dada pela função harmônica
para a posição, com a frequência angular de oscilação dada em função da massa
da partícula presa à extremidade da mola como
.
Aplicando-se a
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola seguindo a lei de Hooke, que relaciona a força da mola com o deslocamento dela. A questão pede para mostrar que o movimento da massa presa na mola é harmônico, ou seja, periódico, usando a segunda lei de Newton. Pra resolver isso, vamos precisar entender a lei de Hooke, a segunda lei de Newton e como elas se relacionam para descrever o movimento harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante aplicada em um objeto é igual à massa desse objeto vezes a sua aceleração:
Aqui, $ \overrightarrow{\boldsymbol{a}} $ é a aceleração da massa presa na mola.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a lei de Hooke, que nos dá a força exercida pela mola:
Como podemos assumir $ \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{0} = 0 $, a equação simplifica para:
O sinal negativo indica que a força da mola atua na direção oposta ao deslocamento.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões para a força usando a segunda lei de Newton:
Como a aceleração $ \overrightarrow{\boldsymbol{a}} $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo $ t $, podemos escrever:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um lado:
Dividindo todos os termos por $ m $, fica:
Passo 6
Essa equação diferencial é característica de um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral de MHS é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Portanto, a frequência angular $ \omega_{0} $ é:
Passo 7
A solução geral dessa equação diferencial é uma função harmônica, que pode ser escrita como:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais. Na nossa questão, a posição pode ser expressa simplificando para:
Resposta
Assim, demonstramos que o movimento da massa presa na mola é periódico e harmônico, com a posição em função do tempo dada por:
E a frequência angular de oscilação é: