Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por F=-k(x-x0), onde k é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e x-x0 é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio x0. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que x0=0 m (colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Aplicando-se a 2^a lei de Newton para o movimento, demonstre que o movimento é periódico e harmônico com a posição em função do tempo dada pela função harmônica x(t)=(x0+Deá para a posição, com a frequência angular de oscilação dada em função da massa m da partícula presa à extremidade da mola como omega0=raizk / m.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola seguindo a lei de Hooke, que relaciona a força da mola com o deslocamento dela. A questão pede para mostrar que o movimento da massa presa na mola é harmônico, ou seja, periódico, usando a segunda lei de Newton. Pra resolver isso, vamos precisar entender a lei de Hooke, a segunda lei de Newton e como elas se relacionam para descrever o movimento harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante aplicada em um objeto é igual à massa desse objeto vezes a sua aceleração:
F = m cdot a
Aqui, $ \overrightarrow{\boldsymbol{a}} $ é a aceleração da massa presa na mola.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a lei de Hooke, que nos dá a força exercida pela mola:
F = -k ( x - x0 )
Como podemos assumir $ \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{0} = 0 $, a equação simplifica para:
x0 = 0
O sinal negativo indica que a força da mola atua na direção oposta ao deslocamento.

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para a força usando a segunda lei de Newton:
m cdot a = -k x
Como a aceleração $ \overrightarrow{\boldsymbol{a}} $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo $ t $, podemos escrever:
a

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um lado:
m cdot d^2xdt^2 + k x = 0
Dividindo todos os termos por $ m $, fica:
m

Passo 6

Essa equação diferencial é característica de um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral de MHS é:
d^2xdt^2 + omega0^2 x = 0
Comparando com a nossa equação, vemos que:
omega0^2 = km
Portanto, a frequência angular $ \omega_{0} $ é:
omega0

Passo 7

A solução geral dessa equação diferencial é uma função harmônica, que pode ser escrita como:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais. Na nossa questão, a posição pode ser expressa simplificando para:
A

Resposta

Assim, demonstramos que o movimento da massa presa na mola é periódico e harmônico, com a posição em função do tempo dada por:
x(t) = A cos(omega0 t) cdot i
E a frequência angular de oscilação é:
omega0 = raizkm

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