Considere uma mola vibratória com amortecimento.
(a) Encontre a solução se
e
.
(b) Ache a frequência de oscilação para o sistema de mola do item (a).
(c) Compare os resultados deste exercício com os do exercício anterior e determine o efeito que o amortecimento tem sobre a frequência de oscilação. Que outros efeitos isso tem sobre a solução?
(a) Encontre a solução se
(b) Ache a frequência de oscilação para o sistema de mola do item (a).
(c) Compare os resultados deste exercício com os do exercício anterior e determine o efeito que o amortecimento tem sobre a frequência de oscilação. Que outros efeitos isso tem sobre a solução?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (copiei os números do enunciado):
- Parâmetros do sistema:
-
- Condições iniciais:
-
- O enunciado pede:
(a) Encontrar a soluçãoda equação do movimento com amortecimento para os dados acima.
(b) Achar a frequência de oscilação do sistema do item (a).
(c) Comparar os resultados com o caso anterior (sem amortecimento) e determinar o efeito do amortecimento sobre a frequência e outros efeitos sobre a solução.
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento e explicando cada termo:
- A equação diferencial para uma mola com amortecimento linear é
onde
é o deslocamento,
velocidade e
aceleração. Aqui
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento (força viscosa proporcional à velocidade) e
é a constante da mola.
- Para nossos valores substituímos
na equação:
- Para resolver, usamos o método clássico: procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica e classificar o amortecimento:
- O discriminante é
- Como
, as raízes são complexas conjugadas, o que indica regime subamortecido (oscilatório com decaimento exponencial). - As raízes podem ser escritas como
onde
é a frequência angular amortecida.
- Calculemos parâmetros úteis:
- frequência natural (sem amortecimento)
- taxa de decaimento exponencial (parte real das raízes)
- frequência angular amortecida
- coeficiente de amortecimento adimensional (razão)
Observação: confirma regime subamortecido.
Passo 4
Forma geral da solução no caso subamortecido e interpretação:
- Para raízes
a solução real geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. A explicação: as partes complexas geram senos e cossenos, a parte real negativa
multiplica por uma exponencial de decaimento — então temos oscilações cuja amplitude é multiplicada por uma envoltória exponencial decrescente.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para achar
e
:
- Primeiro, usando
:
Logo
.
- Agora derivamos
. Usando produto e derivadas de seno/cosseno:
- Avaliando em
(onde , , ):
- Substituindo números:
, e :
- Assim
Passo 6
Escrever a solução completa e também a forma de amplitude-fase:
- Substituindo
e obtém-se a solução solicitada:
- É útil também escrever em forma única com amplitude e fase:
- amplitude inicial combinada
- fase
- Assim
Passo 7
Resposta do item (b): frequência de oscilação e período; interpretação numérica:
- A frequência angular amortecida é
. - A frequência em hertz é
- O período da oscilação amortecida é
Passo 8
Comparação com o caso sem amortecimento e efeitos do amortecimento (item c):
- Casos: sem amortecimento (
) a frequência angular natural seria . Com amortecimento obtivemos . Logo o amortecimento reduz a frequência angular de para (redução de ). - Relação geral:
com . Para temos (se ). - Outros efeitos do amortecimento:
- Amplitude decai exponencialmente com taxa
. Assim a energia do oscilador é dissipada e o movimento tende para quando . - O amortecimento introduz um fator de fase (desloca a fase da oscilação relativa ao caso não amortecido).
- Se
aumentar até (amortecimento crítico) ou acima de (sobreamortecido), as oscilações desaparecem (não há mais senos/cossenos, apenas decaimento sem oscilações). No nosso caso (subamortecido), portanto ainda há oscilações, porém com amplitude decrescente. - Tempo característico de decaimento (constante de tempo) é
; após a amplitude é reduzida a (~37%) da original.
- Amplitude decai exponencialmente com taxa
Resposta
(a)
(equivalente a
).
(b) ,
,
.
(c) Com teria
; o amortecimento reduz a frequência angular para
(aqui
). Além de reduzir a frequência, o amortecimento faz a amplitude decair exponencialmente (
), dissipa energia, introduz deslocamento de fase e, se suficientemente grande (
), elimina as oscilações.
(b)
(c) Com