Considere uma mola vibratória com amortecimento.
(a) Encontre a solução se m=10 \mathrm{~kg}, \beta=60 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, k=250 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}, x(0)=0,3 \mathrm{~m} e x^{\prime}(0)= -0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) Ache a frequência de oscilação para o sistema de mola do item (a).
(c) Compare os resultados deste exercício com os do exercício anterior e determine o efeito que o amortecimento tem sobre a frequência de oscilação. Que outros efeitos isso tem sobre a solução?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (copiei os números do enunciado):
  • Parâmetros do sistema:
    • m=10\\ \mathrm{kg}
    • \beta=60\\ \mathrm{kg/s}
    • k=250\\ \mathrm{kg/s^2}
  • Condições iniciais:
    • x(0)=0,3\\ \mathrm{m}
    • x'(0)=-0,1\\ \mathrm{m/s}
  • O enunciado pede:
    (a) Encontrar a solução x(t) da equação do movimento com amortecimento para os dados acima.
    (b) Achar a frequência de oscilação do sistema do item (a).
    (c) Comparar os resultados com o caso anterior (sem amortecimento) e determinar o efeito do amortecimento sobre a frequência e outros efeitos sobre a solução.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento e explicando cada termo:
  • A equação diferencial para uma mola com amortecimento linear é
m\,x''(t)+\beta\,x'(t)+k\,x(t)=0,
onde x(t) é o deslocamento, x'(t) velocidade e x''(t) aceleração. Aqui m é a massa, \beta é o coeficiente de amortecimento (força viscosa proporcional à velocidade) e k é a constante da mola.
  • Para nossos valores substituímos m,\beta,k na equação:
10\,x''(t)+60\,x'(t)+250\,x(t)=0.
  • Para resolver, usamos o método clássico: procurar soluções da forma x(t)=e^{r t}. Substituindo obtemos a equação característica
10 r^2 + 60 r + 250 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica e classificar o amortecimento:
  • O discriminante é
\Delta = 60^2 - 4\cdot10\cdot250 = 3600 - 10000 = -6400.
  • Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas, o que indica regime subamortecido (oscilatório com decaimento exponencial).
  • As raízes podem ser escritas como
r = -\frac{\beta}{2m}\pm i\,\omega_d,
onde \displaystyle \omega_d=\frac{\sqrt{4mk-\beta^2}}{2m} é a frequência angular amortecida.
  • Calculemos parâmetros úteis:
    • frequência natural (sem amortecimento)
    \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{250}{10}}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
    • taxa de decaimento exponencial (parte real das raízes)
    \frac{\beta}{2m}=\frac{60}{2\cdot10}=\frac{60}{20}=3\\ \text{s}^{-1}.
    • frequência angular amortecida
    \omega_d=\sqrt{\omega_n^2-\left(\frac{\beta}{2m}\right)^2} =\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\\ \text{rad/s}.
    • coeficiente de amortecimento adimensional (razão)
    \zeta=\frac{\beta}{2\sqrt{mk}}=\frac{60}{100}=0{,}6.Observação: \zeta=0{,}6<1 confirma regime subamortecido.

Passo 4

Forma geral da solução no caso subamortecido e interpretação:
  • Para raízes r=-\frac{\beta}{2m}\pm i\omega_d a solução real geral é
x(t)=e^{-\frac{\beta}{2m}t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. A explicação: as partes complexas geram senos e cossenos, a parte real negativa -\frac{\beta}{2m} multiplica por uma exponencial de decaimento — então temos oscilações cuja amplitude é multiplicada por uma envoltória exponencial decrescente.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2:
  • Primeiro, usando x(0)=0,3:
x(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=C_1 = 0{,}3.
Logo C_1=0{,}3.
  • Agora derivamos x(t). Usando produto e derivadas de seno/cosseno:
x'(t)=e^{-\frac{\beta}{2m}t}\Big(-\frac{\beta}{2m}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t) - C_1\omega_d\sin\omega_d t + C_2\omega_d\cos\omega_d t\Big).
  • Avaliando em t=0 (onde e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0):
x'(0)=-\frac{\beta}{2m}C_1 + \omega_d C_2.
  • Substituindo números: \displaystyle -\frac{\beta}{2m}=-3,\\ C_1=0{,}3,\\ \omega_d=4, e x'(0)=-0{,}1:
-3\cdot 0{,}3 + 4 C_2 = -0{,}1 \quad\Rightarrow\quad -0{,}9 + 4 C_2 = -0{,}1.
  • Assim
4 C_2 = 0{,}8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 0{,}2.

Passo 6

Escrever a solução completa e também a forma de amplitude-fase:
  • Substituindo C_1 e C_2 obtém-se a solução solicitada:
x(t)=e^{-3t}\big(0{,}3\cos(4t)+0{,}2\sin(4t)\big)\\ \text{metros}.
  • É útil também escrever em forma única com amplitude e fase:
    • amplitude inicial combinada
    A=\sqrt{0{,}3^2+0{,}2^2}=\sqrt{0{,}13}\approx0{,}3606\\ \text{m},
    • fase
    \varphi=\arctan\!\left(\frac{0{,}2}{0{,}3}\right)\approx0{,}588\\ \text{rad}\\ (\approx33{,}69^\circ).
    • Assim
    x(t)=A\,e^{-3t}\cos(4t-\varphi)\approx0{,}3606\,e^{-3t}\cos(4t-0{,}588).

Passo 7

Resposta do item (b): frequência de oscilação e período; interpretação numérica:
  • A frequência angular amortecida é \omega_d=4\\ \text{rad/s}.
  • A frequência em hertz é
f=\frac{\omega_d}{2\pi}=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}\approx0{,}6366\\ \text{Hz}.
  • O período da oscilação amortecida é
T=\frac{2\pi}{\omega_d}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\ \text{s}.

Passo 8

Comparação com o caso sem amortecimento e efeitos do amortecimento (item c):
  • Casos: sem amortecimento ( \beta=0) a frequência angular natural seria \omega_n=\sqrt{k/m}=5\\ \text{rad/s}. Com amortecimento obtivemos \omega_d=4\\ \text{rad/s}. Logo o amortecimento reduz a frequência angular de 5 para 4\\ \text{rad/s} (redução de 20\%).
  • Relação geral: \displaystyle \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} com \zeta=\beta/(2\sqrt{mk}). Para \zeta>0 temos \omega_d<\omega_n (se \zeta<1).
  • Outros efeitos do amortecimento:
    • Amplitude decai exponencialmente com taxa \displaystyle e^{-\beta/(2m)t}=e^{-3t}. Assim a energia do oscilador é dissipada e o movimento tende para x=0 quando t\to\infty.
    • O amortecimento introduz um fator de fase (desloca a fase da oscilação relativa ao caso não amortecido).
    • Se \zeta aumentar até 1 (amortecimento crítico) ou acima de 1 (sobreamortecido), as oscilações desaparecem (não há mais senos/cossenos, apenas decaimento sem oscilações). No nosso caso \zeta=0{,}6 (subamortecido), portanto ainda há oscilações, porém com amplitude decrescente.
    • Tempo característico de decaimento (constante de tempo) é \tau=1/(\beta/(2m))=1/3\\ \text{s}; após t=\tau a amplitude é reduzida a e^{-1} (~37%) da original.

Resposta

(a) \displaystyle x(t)=e^{-3t}\big(0{,}3\cos(4t)+0{,}2\sin(4t)\big)\\ \text{m} (equivalente a \displaystyle x(t)\approx0{,}3606\,e^{-3t}\cos(4t-0{,}588)\\ \text{m}).
(b) \displaystyle \omega_d=4\\ \text{rad/s}, \displaystyle f=\frac{2}{\pi}\approx0{,}6366\\ \text{Hz}, \displaystyle T=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\ \text{s}.
(c) Com \beta=0 teria \omega_n=5\\ \text{rad/s}; o amortecimento reduz a frequência angular para \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=4\\ \text{rad/s} (aqui \zeta=0{,}6). Além de reduzir a frequência, o amortecimento faz a amplitude decair exponencialmente ( e^{-3t}), dissipa energia, introduz deslocamento de fase e, se suficientemente grande ( \zeta\ge1), elimina as oscilações.

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