Determine duas soluções em séries de potência da equação diferencial dada ao redor do ponto ordinário
indicado.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede: determinar duas soluções em séries de potência ao redor do ponto
.
Informações relevantes dadas:
- O ponto de expansão é
. - A equação contém o fator multiplicando
igual a . Como , o ponto é um ponto ordinário (isto significa que se espera soluções analíticas em potências de ao redor de ). - A equação é linear de segunda ordem, então esperamos duas constantes arbitrárias (duas soluções linearmente independentes), que serão representadas pelos coeficientes iniciais da série.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que será aplicado).
- Vamos procurar uma solução em série de potência centrada em
. Isso significa assumir uma expansão do tipo
onde os
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
- Motivação simples: em torno de um ponto ordinário as soluções de equações lineares com coeficientes analíticos podem ser escritas como séries de potências; os dois primeiros coeficientes
e serão livres (os parâmetros iniciais da EDO), e os demais serão obtidos por recorrência. - Vou calcular
, , substituir na equação, reorganizar em potências de e igualar coeficientes de cada potência a zero para obter uma relação de recorrência entre os .
Passo 3
Derivadas da série (passo a passo).
- Assumindo
temos, por diferenciação termo a termo,
Cada derivada foi obtida aplicando a regra de potência
. Note que os somatórios começam em índices que eliminam termos nulos (
para
dão zero).
Passo 4
Multiplicação por
e reescrita para alinhar potências de
.
- Escrever
. Assim
Separe em duas somas:
- Escrever também
- Para coletar termos pelo mesmo expoente
de , reindexe cada soma: - Na primeira soma de
, ponha para obter - Na segunda soma de
, ponha (a soma começa em ): - Para
, com (começa em ): - Para
, a primeira soma já é e a segunda soma, com , começa em :
- Na primeira soma de
Passo 5
Montagem da equação em potências de
e obtenção da recorrência.
- Somando as expressões encontradas para
, e , a equação fica, para cada potência , com coeficiente (somando contribuições): - Do termo em
vindo de (primeira parcela): . - Do termo em
vindo da segunda parcela de (quando ): . - Do termo em
vindo de : . - Do termo em
vindo de (primeira parcela): . - Do termo em
vindo de (segunda parcela): para , .
- Do termo em
- Para
(constante) algumas parcelas não existem (as somas que começam em não contribuem). Igualando o coeficiente de a zero obtemos: - Para
: ou seja - Para
: somando os termos e simplificando , obtemos Podemos isolar :
- Para
Passo 6
Interpretação da recorrência e cálculo dos primeiros coeficientes (mostrar como gerar a série na prova).
- Comentário prático: os dois coeficientes livres são
e . A partir deles, usando a relação para e a recorrência para , é possível calcular todos os recursivamente. - Começando pelo caso
(condição inicial): - Agora calcule
usando a fórmula com : Substituindo , logo - Calcule
com : Substituindo e , Assim e portanto - Calcule
com : Substituindo os valores já obtidos e simplificando (fazer as contas em frações mostra): Somando dá . Logo - Resumo dos primeiros coeficientes em termos de
e : e assim por diante. Na prova, com essas fórmulas e a recorrência geral, basta calcular quantos termos forem exigidos.
Passo 7
Construção explícita das duas soluções independentes (escolhas canônicas dos parâmetros iniciais).
- Como se trata de uma EDO linear de segunda ordem, duas soluções linearmente independentes podem ser obtidas escolhendo as condições iniciais canônicas:
- Primeira solução: tomar
. Isso gera a série (substituir os coeficientes computados): (os coeficientes acima foram obtidos substituindo nas fórmulas de ). Essa série corresponde à solução com . - Segunda solução: tomar
. Isso gera a série: (obtida substituindo ). Essa solução satisfaz .
- Primeira solução: tomar
- Observação prática: estas duas séries são linearmente independentes (uma tem termo constante não nulo, a outra não), portanto formam uma base de soluções locais. Na prova normalmente basta apresentar a recorrência geral e os dois primeiros termos (como fiz aqui, até ordem
).