Considere a molécula de benzeno e determine todos os elementos de simetria existentes nela. Mostre que o benzeno possui planos verticais, horizontal e diedral.

Passo 1

O enunciado pede para listar todos os elementos de simetria da molécula de benzeno. Este é um polígono regular de seis vértices ( C6 H6) e pertence ao grupo pontual D6h. Para resolver, vamos identificar, um a um, os diferentes tipos de elementos de simetria: identidade, eixos de rotação, planos de espelho, centro de inversão e eixos de rotação imprópria.

Passo 2

Identificamos primeiro os eixos de rotação verdadeiros.
1. O eixo principal é perpendicular ao plano do anel e passa pelo centro do hexágono. Nele temos:
C6(60circ), C6^2=C3(120circ), C6^3=C2(180circ), C6^4=C3^-1, C6^5=C6^-1
2. No próprio plano do anel existem mais seis eixos C2 que giram o anel em 180circ:
  • Três eixos que passam por átomos opostos de carbono (denotados C2').
  • Três eixos que passam pelo ponto médio de ligações C–C opostas (denotados C2'').

Passo 3

Agora os planos de espelho.
1. Há um plano horizontal sigmah que coincide com o plano do anel.
2. Há seis planos verticais que contêm o eixo principal C6:
  • Três planos sigmav que passam por dois átomos de carbono opostos (coincidem com eixos C2').
  • Três planos sigmad que bissetam as ligações C–C (coincidem com eixos C2'').

Passo 4

A molécula de benzeno também possui um centro de inversão i no seu centro geométrico: cada átomo de carbono é enviado a si mesmo pela inversão no centro, e cada hidrogênio idem.

Passo 5

Finalmente, os eixos de rotação imprópria (rotação seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo):
1. Dois eixos S6 (um no sentido horário e outro anti-horário), equivalentes a C6 seguido de sigmah.
2. Dois eixos S3 (equivalentes a C3 seguido de sigmah.

Resposta

Os elementos de simetria do benzeno são:
E (identidade);
C6,,C6^5; C3,,C3^2; C2 (eixo principal);
três C2' e três C2'' (eixos no plano do anel);
sigmah; três sigmav e três sigmad;
o centro de inversão i;
S6,,S6^5 e S3,,S3^2.

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