Considere um monocristal de algum metal hipotético com estrutura cristalina CFC, orientado tal que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [112]. Se o escorregamento ocorre no plano (111) e na direção [011], e o cristal escoa sob uma tensão de 5,12 \mathrm{MPa}, calcule a tensão de cisalhamento resolvida.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a tensão de cisalhamento resolvida quando um monocristal é tracionado na direção [112], sabendo que o escorregamento ocorre no plano (111) na direção [011] e que a tensão aplicada (tração) é \;5,12\\ \mathrm{MPa}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{Tensão aplicada: }\sigma = 5,12\\ \mathrm{MPa}ã
\text{Direção da tração: }[112]çãçã
\text{Plano de escorregamento: }(111)
\text{Direção de escorregamento: }[011]çã

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): a lei de Schmid diz que a tensão de cisalhamento resolvida \tau naquele sistema de escorregamento é dada por
\tau = \sigma \cos\varphi \cos\lambda,
onde:
  • \sigma é a tensão aplicada ao cristal (tração).
  • \varphi é o ângulo entre o eixo de aplicação da tensão e a normal ao plano de escorregamento.
  • \lambda é o ângulo entre o eixo de aplicação da tensão e a direção de escorregamento dentro do plano.\n
    Para calcular \cos\varphi e \cos\lambda vamos usar produto escalar entre vetores: se \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores, então
\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
com \theta o ângulo entre eles. Num cristal cúbico (como CFC), os índices de Miller [hkl] podem ser tratados como componentes do vetor diretor e (hkl) tem normal proporcional a (h,k,l). Então representamos vetores por suas componentes inteiras.

Passo 3

Definimos os vetores (em notação de componentes):
\mathbf{u} = [1,1,2]\quad\text{(direção da tração)}çãçã
\mathbf{s} = [0,1,1]\quad\text{(direção de escorregamento \([011]\))}çã
\mathbf{n} = [1,1,1]\quad\text{(normal ao plano \((111)\))}
Agora calculamos as normas (comprimentos) desses vetores:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} = \sqrt{6}
\|\mathbf{s}\| = \sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}

Passo 4

Calculamos \cos\lambda (ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{s}) usando o produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{s} = 1\cdot0 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = 3.
Logo
\cos\lambda = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{s}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{s}\|} = \frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Numericamente, \cos\lambda \approx 0,866025.

Passo 5

Calculamos \cos\varphi (ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{n}):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{n} = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = 4.
Logo
\cos\varphi = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{n}\|} = \frac{4}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}.
Numericamente, \cos\varphi \approx 0,942809.

Passo 6

Calculamos o fator de Schmid m=\cos\varphi\cos\lambda:
m = \left(\frac{4}{3\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}.
Numericamente,
m \approx 0,816497.

Passo 7

Aplicamos a lei de Schmid para obter a tensão de cisalhamento resolvida \tau:
\tau = \sigma\,m
com \sigma = 5,12\\ \mathrm{MPa} e m \approx 0,816497. Portanto, calculamos
\tau = 5,12 \times 0,816497\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

4,18\\ \mathrm{MPa}

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