Considere V=R^n. Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é subespaço vetorial de V. O que podemos dizer se o sistema não for homogêneo?
Observação: Um sistema linear é dito ser homogêneo se é da forma
Dica: Use a equação matricial do sistema.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o espaço vetorial V=R^n e um sistema linear homogêneo escrito na forma matricial
A x = 0,
onde A é uma matriz mtimes n real e xinR^n. Vamos mostrar que o conjunto
S = ,xinR^n mid A x = 0
é de fato um subespaço vetorial de V. Em seguida, discutiremos o caso em que o sistema não é homogêneo.

Passo 2

Para provar que S é subespaço de V, usamos o critério clássico:
  1. o vetor zero de V pertence a S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.
    Primeiro, verificamos que o vetor nulo 0inR^n satisfaz
Acdot 0 = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Agora seja x e y dois vetores em S. Então A x = 0 e A y = 0. Pela linearidade do produto matricial, temos
A(x + y) = A x + A y = 0 + 0 = 0,
logo x + yin S. Isso mostra que S é fechado sob soma.

Passo 4

Seja lambdainR e xin S com A x=0. Novamente pela linearidade,
A(lambda x) = lambda,(A x) = lambdacdot 0 = 0,
portanto lambda x in S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de R^n.
Em contraste, se o sistema for não homogêneo, ou seja
A x = b,
com bneq 0, duas situações ocorrem: se não existe solução, o conjunto solução é vazio; se existe pelo menos uma solução xp, então o conjunto de todas as soluções é
,xp + v mid vinker(A),
que é um subconjunto afim (uma tradução do subespaço ker(A)), mas que em geral não é um subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero a menos que b=0.

Resposta

O conjunto solução do sistema homogêneo A x=0 é subespaço vetorial de R^n. Se o sistema for não homogêneo A x=b com bneq0, então ou não há solução, ou o conjunto solução é um subespaço afim da forma xp+ker(A), não passando necessariamente pela origem.

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