Considere
. Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é subespaço vetorial de
. O que podemos dizer se o sistema não for homogêneo?
Observação: Um sistema linear é dito ser homogêneo se é da forma
Dica: Use a equação matricial do sistema.
Observação: Um sistema linear é dito ser homogêneo se é da forma
Dica: Use a equação matricial do sistema.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o espaço vetorial
e um sistema linear homogêneo escrito na forma matricial
onde
é uma matriz
real e
. Vamos mostrar que o conjunto
é de fato um subespaço vetorial de
. Em seguida, discutiremos o caso em que o sistema não é homogêneo.
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
, usamos o critério clássico:
- o vetor zero de
pertence a , -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Primeiro, verificamos que o vetor nulosatisfaz
logo
.
Passo 3
Agora seja
e
dois vetores em
. Então
e
. Pela linearidade do produto matricial, temos
logo
. Isso mostra que
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
com
. Novamente pela linearidade,
portanto
. Assim,
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Em contraste, se o sistema for não homogêneo, ou seja
com
, duas situações ocorrem: se não existe solução, o conjunto solução é vazio; se existe pelo menos uma solução
, então o conjunto de todas as soluções é
que é um subconjunto afim (uma tradução do subespaço
), mas que em geral não é um subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero a menos que
.
Resposta
O conjunto solução do sistema homogêneo
é subespaço vetorial de
. Se o sistema for não homogêneo
com
, então ou não há solução, ou o conjunto solução é um subespaço afim da forma
, não passando necessariamente pela origem.