Considere os vetores u e v tais que |u|=2 e |v|=3 os quais formam entre eles o ângulo de 2 pi3. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para encontrar o valor de |u+v|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar |u+v| sabendo que |u|=2, |v|=3 e que o ângulo entre eles é tfrac2pi3. Vamos usar propriedades do produto interno, em particular a relação entre norma e produto interno e a expressão de |u+v|^2.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para qualquer par de vetores a,b vale
|a+b|^2 ;=;lang<= a+b,,a+brang<=

Passo 3

Aplicando bilinearidade e simetria do produto interno, obtemos
|u+v|^2 =lang<= u,urang<= +2lang<= u,vrang<= +lang<= v,vrang<=

Passo 4

Usamos que lang<= u,urang<==|u|^2=2^2=4 e lang<= v,vrang<==|v|^2=3^2=9. Além disso,
lang<= u,vrang<= =|u|,|v|cosl(tfrac2pi3r) =2cdot3cdotcosl(tfrac2pi3r) =6cdotl(-tfrac12r) =-3

Passo 5

Substituindo em |u+v|^2, temos
|u+v|^2 =4 + 2(-3) + 9 =4 -6 +9 =7
Logo,
|u+v| = raiz7

Resposta

raiz7

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