Considere a>0 e n in N.
(a) Mostre que integral0^infty e^-a x d x=1a.
(b) Use integração por partes e o item (a) para mostrar que integral0^infty x^n e^-a x d x=n!a^n+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias. No item (a) temos integral0^inftye^-ax,dx, que avaliaremos usando limite de integrais definidas e o teorema fundamental do cálculo. No item (b) aplicaremos integração por partes em integral0^inftyx^ne^-ax,dx e usaremos o resultado do item (a) para fechar por recursão.

Passo 2

Começamos pelo item (a). Seja
I = integral0^inftye^-ax,dx
Definindo a integral própria até um parâmetro R>0, temos
integral0^Re^-ax,dx = [-1ae^-ax]0^R = -1ae^-aR + 1a
Agora tomamos Rtoinfty. Como a>0, e^-aRto0, logo
I = limRtoinftyintegral0^Re^-ax,dx = 1a

Passo 3

Para o item (b), defina
In = integral0^inftyx^ne^-ax,dx
Fazemos integração por partes com u = x^n e dv = e^-ax,dx. Então
du = n,x^n-1,dx, v = -1ae^-ax
Dessa forma,
In = l[u,vr]0^infty - integral0^inftyv,du = l[-x^nae^-axr]0^infty + naintegral0^inftyx^n-1e^-ax,dx
No limite, limxtoinftyx^ne^-ax=0 e em x=0 o termo anula, restando
In = na,In-1

Passo 4

A relação de recorrência é
In = na,In-1,
e já temos I0 = tfrac1a. Aplicando iterativamente,
I1 = 1aI0=1a^2, I2 = 2aI1=2a^3,;dots,; In = n!a^n+1

Resposta

(a) integral0^inftye^-ax,dx = 1a
(b) integral0^inftyx^ne^-ax,dx = n!a^n+1

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