Considere
e
.
(a) Mostre que
.
(b) Use integração por partes e o item (a) para mostrar que
.
(a) Mostre que
(b) Use integração por partes e o item (a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias. No item (a) temos
, que avaliaremos usando limite de integrais definidas e o teorema fundamental do cálculo. No item (b) aplicaremos integração por partes em
e usaremos o resultado do item (a) para fechar por recursão.
Passo 2
Começamos pelo item (a). Seja
Definindo a integral própria até um parâmetro
, temos
Agora tomamos
. Como
,
, logo
Passo 3
Para o item (b), defina
Fazemos integração por partes com
e
. Então
Dessa forma,
No limite,
e em
o termo anula, restando
Passo 4
A relação de recorrência é
e já temos
. Aplicando iterativamente,
Resposta
(a)
(b)
(b)