integral d y(a+b y)^3=-12 b(a+b y)^2+c

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dy(a + b y)^3
O conteúdo aqui é integração por substituição simples, pois o denominador é uma função linear elevada a uma potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = a + b y, du = b,dy Longrightarrow dy = dub
Substituindo na integral original:
integral dy(a + b y)^3 = integral 1u^3;dub = 1bintegral u^-3,du

Passo 3

Para integrar integral u^-3,du usamos a fórmula
integral u^n,du = u^n+1n+1(nneq -1)
Aqui n=-3, logo
integral u^-3,du = u^-2-2 = -12,u^2
Multiplicando pelo fator tfrac1b, obtemos
1bintegral u^-3,du = -12b,u^2 + C

Passo 4

Voltando à variável original y com u=a+by, conclui-se
integral dy(a + b y)^3 = -12b,(a + b y)^2 + C

Resposta

integral dy(a + b y)^3 = -12b,(a + b y)^2 + C

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