3 ^ a Questão: Dada a função horária de um movimento retilíneo s(t)=2 t^3-3 t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km / h ao fim de 5 h . Determine também a equação da aceleração desse objeto.

Passo 1

O enunciado dá a função horária de posição
s(t)=2t^3-3t
de um movimento retilíneo, onde t está em horas e s em quilômetros. Pede-se a distância total percorrida e a velocidade ao fim de 5 h, além da equação da aceleração. Para isso vamos:
1. Encontrar a velocidade como derivada de s(t).
2. Analisar o sinal de v(t) para calcular a distância percorrida (integração de lvert v(t)rvert).
3. Derivar v(t) para obter a aceleração.

Passo 2

Derivando s(t) obtemos a velocidade:
v(t)=s'(t)=ddtl(2t^3-3tr)=6t^2-3
Igualando a zero achamos o instante em que muda o sentido:
6t^2-3=0 Longrightarrow t1=1raiz2approx0,707 h

Passo 3

Como v(t)<0 em 0<t<t1 e v(t)>0 para t>t1, a distância total é
distância =l|s(t1)-s(0)r|+l|s(5)-s(t1)r| â
Calculamos
s(0)=0, sl(t1r)=2l(tfrac1raiz2r)^3-3l(tfrac1raiz2r) =-raiz2, s(5)=2cdot125-3cdot5=235
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l|s(t1)-s(0)r|=raiz2, l|s(5)-s(t1)r|=235+raiz2,
distância total=raiz2+l(235+raiz2r)=235+2raiz2approx237,83 km â

Passo 4

A velocidade ao fim de 5 h é
v(5)=6cdot5^2-3=6cdot25-3=150-3=147 km/h

Passo 5

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=ddtl(6t^2-3r)=12tl[km/h^2r]

Resposta

Distância percorrida approx237,83 km
Velocidade em 5 h: 147 km/h
Equação da aceleração: a(t)=12t km/ h^2

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