Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de $1,5
\mathrm{~m} /
\mathrm{s}$ ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele estí a 10 m do poste?
Passo 1
O enunciado diz que um poste de
m de altura sustenta uma lâmpada no topo e que um homem de
m de altura afasta-se dele a
m/s. Quando ele está a
m do poste, queremos a velocidade com que a ponta de sua sombra se movimenta. Para isso vamos usar triângulos semelhantes e derivar em relação ao tempo.
Passo 2
Defina
distância do homem ao poste
comprimento da sombra do homem
O ponto mais afastado da sombra está a do poste. Pelos triângulos semelhantes entre o grande (poste, luz e ponta da sombra) e o pequeno (homem e ponta da sombra) temos:
O ponto mais afastado da sombra está a
Passo 3
Resolva a equação de semelhança para expressar
em função de
. A partir de
temos
Passo 4
Derive ambos os lados em relação ao tempo
. Como
e
variam com
,
logo
Como o homem se afasta a
m/s, obtemos
Passo 5
A ponta da sombra fica a
do poste, portanto sua velocidade é
Resposta
A ponta da sombra se afasta do poste a
m/s.