Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de $1,5
\mathrm{~m} /
\mathrm{s}$ ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele estí a 10 m do poste?

Passo 1

O enunciado diz que um poste de 6 m de altura sustenta uma lâmpada no topo e que um homem de 2 m de altura afasta-se dele a 1,5 m/s. Quando ele está a 10 m do poste, queremos a velocidade com que a ponta de sua sombra se movimenta. Para isso vamos usar triângulos semelhantes e derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Defina
x(t) = distância do homem ao poste
s(t) = comprimento da sombra do homem
O ponto mais afastado da sombra está a x+s do poste. Pelos triângulos semelhantes entre o grande (poste, luz e ponta da sombra) e o pequeno (homem e ponta da sombra) temos:
6x+s = 2s

Passo 3

Resolva a equação de semelhança para expressar s em função de x. A partir de
6,s = 2,(x+s)
temos
6s = 2x + 2s
4s = 2x
s = x2

Passo 4

Derive ambos os lados em relação ao tempo t. Como x e s variam com t,
ddtl(sr) = ddtl(x2r)
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dsdt = 12,dxdt
Como o homem se afasta a dxdt=1,5 m/s, obtemos
dsdt = 12times1,5 = 0,75 m/s

Passo 5

A ponta da sombra fica a x+s do poste, portanto sua velocidade é
ddt(x+s) = dxdt + dsdt = 1,5 + 0,75 = 2,25 m/s

Resposta

A ponta da sombra se afasta do poste a 2,25 m/s.

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