(**) Considere o movimento de uma partícula de massa
num campo de forças centrais associado à energia potencial
, onde
é a distância da partícula ao centro de forças
. Neste movimento, a magnitude
do momento angular da partícula em relação a
se conserva. Sejam
as componentes em coordenadas polares do vetor de posição
da partícula em relação à origem
.
(a) Mostre que as componentes em coordenadas polares do vetor velocidade
da partícula são
(velocidade radial) e
(velocidade transversal). Mostre que
.
(b) Mostre que a energia total
da partícula é dada por
(a) Mostre que as componentes em coordenadas polares do vetor velocidade
(b) Mostre que a energia total
Passo 1
O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa
sob uma força central com potencial
. Sabe-se que o momento angular
tem magnitude constante
. Em coordenadas polares
queremos (a) achar as componentes radial e transversal da velocidade e mostrar que
e (b) escrever a energia total
em função de
, de
e de
.
Passo 2
Escrevendo o vetor posição em polares como
e lembrando que as bases
giram com
, temos ao derivar
Dessa forma reconhecemos as componentes
Passo 3
O momento angular é
Como
e
, segue
Passo 4
A energia cinética é
Substituindo
obtemos
Assim a energia total
fica
Resposta
(a)
,
e
.
(b) .
(b)