(**) Considere o movimento de uma partícula de massa m num campo de forças centrais associado à energia potencial U(r), onde r é a distância da partícula ao centro de forças O. Neste movimento, a magnitude l=|\vec{l}| do momento angular da partícula em relação a O se conserva. Sejam (r, \theta) as componentes em coordenadas polares do vetor de posição r da partícula em relação à origem O.
(a) Mostre que as componentes em coordenadas polares do vetor velocidade v da partícula são v_{r}=\frac{d r}{d t} (velocidade radial) e v_{\theta}=r \frac{d \theta}{d t} (velocidade transversal). Mostre que l=m r v_{\theta}.
(b) Mostre que a energia total E da partícula é dada por E=\frac{m v_{r}^{2}}{2}+\frac{l^{2}}{\left(2 m r^{2}\right)}+U(r)

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa m sob uma força central com potencial U(r). Sabe-se que o momento angular \vec l=m\,\vec r\times\vec v tem magnitude constante l. Em coordenadas polares (r,\theta) queremos (a) achar as componentes radial e transversal da velocidade e mostrar que l=m\,r\,v_{\theta} e (b) escrever a energia total
E=T+U(r)
em função de v_{r}, de l e de r.

Passo 2

Escrevendo o vetor posição em polares como
\vec r = r\,\hat e_{r},
e lembrando que as bases \{\hat e_{r},\hat e_{\theta}\} giram com \theta, temos ao derivar
\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dr}{dt}\,\hat e_{r} + r\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat e_{\theta}.
Dessa forma reconhecemos as componentes
v_{r} = \frac{dr}{dt}, \qquad v_{\theta} = r\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 3

O momento angular é
\vec l = m\,\vec r\times\vec v = m\bigl(r\,\hat e_{r}\bigr)\times\Bigl(v_{r}\,\hat e_{r}+v_{\theta}\,\hat e_{\theta}\Bigr).
Como \hat e_{r}\times\hat e_{r}=0 e \hat e_{r}\times\hat e_{\theta}=\hat k, segue
\vec l = m\,r\,v_{\theta}\,\hat k \quad\Longrightarrow\quad l = |\vec l| = m\,r\,v_{\theta}.

Passo 4

A energia cinética é
T = \frac{1}{2}m\,\|\vec v\|^{2} = \frac{1}{2}m\bigl(v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}\bigr).
Substituindo v_{\theta}=l/(m\,r) obtemos
T = \frac{1}{2}m\,v_{r}^{2} + \frac{1}{2}m\Bigl(\frac{l}{m\,r}\Bigr)^{2} = \frac{1}{2}m\,v_{r}^{2} + \frac{l^{2}}{2\,m\,r^{2}}.
Assim a energia total
E = T + U(r)
fica
E = \frac{1}{2}m\,v_{r}^{2} + \frac{l^{2}}{2\,m\,r^{2}} + U(r).

Resposta

(a) v_{r}=\dfrac{dr}{dt}, v_{\theta}=r\,\dfrac{d\theta}{dt} e l=m\,r\,v_{\theta}.
(b) \displaystyle E=\frac{1}{2}m\,v_{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2\,m\,r^{2}}+U(r).

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