(**) Um ioiô é composto por dois discos cuja espessura é b e cujo raio é R. Os dois discos estão ligados por um eixo central estreito de raio R_{0}. Em torno desse eixo está enrolado um fio de comprimento L e espessura desprezível. O momento de inércia do sistema, com relação ao seu centro de massa é dado por I_{C M}. Supondo o atrito desprezível, encontre a velocidade linear do ioiô quando ele sobe o fio. \mathrm{R}: v=-\left[\frac{2 M R_{0}^{2} g L}{\left(I_{C M}+M R_{0}^{2}\right)}\right]^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado descreve um ioiô de massa M, formado por dois discos de raio R e espessura b, ligados por um eixo de raio R_{0}. Em torno desse eixo está enrolado um fio de comprimento L, e o momento de inércia total em relação ao centro de massa é I_{CM}. Queremos a velocidade linear v do ioiô após percorrer o comprimento L do fio, supondo atrito desprezível. O conteúdo usado será conservação de energia mecânica e a condição de “rolamento” sem deslizamento entre fio e eixo.

Passo 2

Como o fio não desliza no eixo, a restrição de rolamento dá a relação entre a velocidade linear v do centro de massa e a velocidade angular \omega do ioiô:
v = \omega\,R_{0}.

Passo 3

Pela conservação de energia mecânica, a perda de energia potencial gravitacional ao descer (ou, equivalente, o ganho de energia cinética ao subir, com sinal apropriado) deve igualar a soma das energias cinéticas de translação e rotação:
M g L \;=\;\tfrac12\,M v^{2}\;+\;\tfrac12\,I_{CM}\,\omega^{2}.

Passo 4

Substituindo \omega = v/R_{0} na expressão acima, o lado direito fica
\tfrac12\,M v^{2} \;+\;\tfrac12\,I_{CM}\,\Bigl(\frac{v}{R_{0}}\Bigr)^{2} =\;\tfrac12\,v^{2}\Bigl(M+\frac{I_{CM}}{R_{0}^{2}}\Bigr).
Logo,
M g L =\tfrac12\,v^{2}\Bigl(M+\frac{I_{CM}}{R_{0}^{2}}\Bigr) \;\;\longrightarrow\;\; v^{2} =\frac{2\,M\,g\,L}{M + \tfrac{I_{CM}}{R_{0}^{2}}} =\frac{2\,M\,R_{0}^{2}\,g\,L}{I_{CM}+M\,R_{0}^{2}}.

Passo 5

Tomando a raiz quadrada e escolhendo o sinal negativo para indicar o sentido de subida do ioiô (oposto ao da gravidade), obtemos
v \;=\; -\sqrt{\frac{2\,M\,R_{0}^{2}\,g\,L}{I_{CM}+M\,R_{0}^{2}}}.

Resposta

v = -\sqrt{\frac{2\,M\,R_{0}^{2}\,g\,L}{I_{CM}+M\,R_{0}^{2}}}

Exercícios relacionados