(**) Um ioiô é composto por dois discos cuja espessura é
e cujo raio é
. Os dois discos estão ligados por um eixo central estreito de raio
. Em torno desse eixo está enrolado um fio de comprimento
e espessura desprezível. O momento de inércia do sistema, com relação ao seu centro de massa é dado por
. Supondo o atrito desprezível, encontre a velocidade linear do ioiô quando ele sobe o fio.
Passo 1
O enunciado descreve um ioiô de massa
, formado por dois discos de raio
e espessura
, ligados por um eixo de raio
. Em torno desse eixo está enrolado um fio de comprimento
, e o momento de inércia total em relação ao centro de massa é
. Queremos a velocidade linear
do ioiô após percorrer o comprimento
do fio, supondo atrito desprezível. O conteúdo usado será conservação de energia mecânica e a condição de “rolamento” sem deslizamento entre fio e eixo.
Passo 2
Como o fio não desliza no eixo, a restrição de rolamento dá a relação entre a velocidade linear
do centro de massa e a velocidade angular
do ioiô:
Passo 3
Pela conservação de energia mecânica, a perda de energia potencial gravitacional ao descer (ou, equivalente, o ganho de energia cinética ao subir, com sinal apropriado) deve igualar a soma das energias cinéticas de translação e rotação:
Passo 4
Substituindo
na expressão acima, o lado direito fica
Logo,
Passo 5
Tomando a raiz quadrada e escolhendo o sinal negativo para indicar o sentido de subida do ioiô (oposto ao da gravidade), obtemos