(**) Um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo com o deslocamento angular dado por \theta(t)=a t-b t^{3}, onde a=6,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b=2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3} e t \geq 0. Ache os valores médios da velocidade angular e da aceleração angular para o intervalo de tempo de t=0 até o instante em que o corpo para.
\mathrm{R}: \omega_{\text {media }}=\frac{2 a}{3}=4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e \alpha_{\text {media }}=-\sqrt{3 a b}=-6,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento angular de um corpo rígido
\theta(t)=a\,t - b\,t^{3},\quad a=6{,}0\;\mathrm{rad/s},\;b=2{,}0\;\mathrm{rad/s^{3}},\;t\ge0
e pede o valor médio da velocidade angular e da aceleração angular no intervalo de t=0 até o instante em que o corpo para. Para isso vamos precisar de:
  1. A definição de velocidade e aceleração angulares instantâneas ( \omega(t)=\dot\theta(t), \alpha(t)=\dot\omega(t)).
  2. O tempo em que o corpo para ( \omega=0).
  3. As fórmulas de valor médio:
    \displaystyle \bar\omega = \frac{\theta(t_f)-\theta(0)}{t_f} e \displaystyle \bar\alpha = \frac{\omega(t_f)-\omega(0)}{t_f}.

Passo 2

Calculemos primeiro as quantidades instantâneas:
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = a - 3\,b\,t^{2},
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = -6\,b\,t.

Passo 3

O corpo para quando \omega(t)=0, ou seja
0 = a - 3\,b\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad t_{\mathrm{parada}} = \sqrt{\frac{a}{3\,b}}.
Substituindo a=6 e b=2:
t_{\mathrm{parada}} = \sqrt{\frac{6}{3\cdot2}} = \sqrt{1} = 1{,}0\;\mathrm{s}.

Passo 4

Agora o valor médio da velocidade angular:
\bar\omega = \frac{\theta(t_{\mathrm{parada}})-\theta(0)}{t_{\mathrm{parada}}} = \frac{a\,t_{\mathrm{parada}} - b\,t_{\mathrm{parada}}^{3}}{t_{\mathrm{parada}}} = a - b\,t_{\mathrm{parada}}^{2}.
Como t_{\mathrm{parada}}^{2} = \tfrac{a}{3b}, segue
\bar\omega = a - b\!\bigl(\tfrac{a}{3b}\bigr) = a - \tfrac{a}{3} = \tfrac{2a}{3} \;\Longrightarrow\; \bar\omega = \frac{2\cdot6{,}0}{3} = 4{,}0\;\mathrm{rad/s}.

Passo 5

E o valor médio da aceleração angular:
\bar\alpha = \frac{\omega(t_{\mathrm{parada}})-\omega(0)}{t_{\mathrm{parada}}} = \frac{0 - a}{t_{\mathrm{parada}}} = -\,\frac{a}{\sqrt{\tfrac{a}{3b}}} = -\sqrt{3\,a\,b}.
Numericamente, com a=6 e b=2:
\bar\alpha = -\sqrt{3\cdot6\cdot2} = -\sqrt{36} = -6{,}0\;\mathrm{rad/s^{2}}.

Resposta

\displaystyle \bar\omega = 4{,}0\;\mathrm{rad/s}
\displaystyle \bar\alpha = -6{,}0\;\mathrm{rad/s^{2}}

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