Considere o movimento de rotação galáctica, admitindo que as órbitas são keplerianas. Obtenha expressões para a velocidade de rotação e velocidade angular em função da distância galactocêntrica.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre o movimento de rotação das galáxias, assumindo que as órbitas das estrelas seguem as leis de Kepler (órbitas keplerianas). Precisamos encontrar duas coisas: a velocidade de rotação e a velocidade angular em função da distância ao centro da galáxia (distância galactocêntrica). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente da gravitação e do movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são órbitas keplerianas. Nas leis de Kepler, a terceira lei nos diz que o quadrado do período orbital ($ T T éó a a óéó R $).

Passo 3

Em uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a estrela em movimento circular é fornecida pela força gravitacional. Assim, podemos igualar a força centrípeta à força gravitacional:
m v^2R = G M mR^2
onde:
  • $ m $ é a massa da estrela,
  • $ v $ é a velocidade de rotação,
  • $ R $ é a distância galactocêntrica,
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa da galáxia dentro de um raio $ R $.

Passo 4

Observamos que a massa $ M $ dentro de um raio $ R $, para órbitas keplerianas, supõe que a maior parte da massa está concentrada no centro. Assim, podemos escrever:
M

Passo 5

Agora, queremos expressar a velocidade angular ($ \omega $) em função de $ R $. Sabemos que a velocidade linear está relacionada com a velocidade angular pela relação:
omega

Passo 6

Substituindo a expressão de $ v $ na equação anterior:
v
(omega R)^2 = G MR

Passo 7

Simplificando a equação para resolver $ \omega $:
omega
omega^2 = G MR^3

Resposta

A velocidade de rotação é dada por:
v = raizG MR
E a velocidade angular é:
omega = raizG MR^3

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