Considere o movimento de rotação galáctica, admitindo que as órbitas são keplerianas. Obtenha expressões para a velocidade de rotação e velocidade angular em função da distância galactocêntrica.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre o movimento de rotação das galáxias, assumindo que as órbitas das estrelas seguem as leis de Kepler (órbitas keplerianas). Precisamos encontrar duas coisas: a velocidade de rotação e a velocidade angular em função da distância ao centro da galáxia (distância galactocêntrica). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente da gravitação e do movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são órbitas keplerianas. Nas leis de Kepler, a terceira lei nos diz que o quadrado do período orbital ($ T
a
R $).
Passo 3
Em uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a estrela em movimento circular é fornecida pela força gravitacional. Assim, podemos igualar a força centrípeta à força gravitacional:
onde:
- $ m $ é a massa da estrela,
- $ v $ é a velocidade de rotação,
- $ R $ é a distância galactocêntrica,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da galáxia dentro de um raio $ R $.
Passo 4
Observamos que a massa $ M $ dentro de um raio $ R $, para órbitas keplerianas, supõe que a maior parte da massa está concentrada no centro. Assim, podemos escrever:
Passo 5
Agora, queremos expressar a velocidade angular ($ \omega $) em função de $ R $. Sabemos que a velocidade linear está relacionada com a velocidade angular pela relação:
Passo 6
Substituindo a expressão de $ v $ na equação anterior:
Passo 7
Simplificando a equação para resolver $ \omega $:
Resposta
A velocidade de rotação é dada por:
E a velocidade angular é: