Mostre que a relação para órbitas keplerianas do exercício anterior pode ser obtida a partir da terceira lei de Kepler.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação para órbitas keplerianas pode ser derivada a partir da terceira lei de Kepler. Isso está relacionado à astronomia e física, especificamente ao estudo das leis do movimento planetário de Kepler. Para resolver, vamos precisar entender a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital de um planeta com o tamanho da sua órbita, e usar um pouco de física básica sobre movimento circular e gravitação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a terceira lei de Kepler. Ela diz que o quadrado do período orbital $ T $ de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior $ a $ da sua órbita. Em fórmula, isso fica:
Isso significa que se a gente sabe o tempo que um planeta leva para dar uma volta completa ao redor do Sol, podemos relacionar esse tempo com o tamanho da sua órbita.
Passo 3
Agora, para conectar isso com a física, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional $ F $ entre dois corpos é:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa do Sol,
- $ m $ é a massa do planeta,
- $ r $ é a distância entre eles.
Passo 4
Além disso, para um movimento circular, a força centrípeta $ F_c $ necessária para manter o planeta na órbita é dada por:
Onde $ v $ é a velocidade orbital do planeta.
Passo 5
Como o planeta está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
Podemos simplificar cancelando $ m $ e multiplicando ambos os lados por $ r $:
Passo 6
Sabemos que a velocidade $ v $ também pode ser expressa em termos do período $ T $ e do raio $ r $ da órbita. A circunferência da órbita é $ 2\pi r $, então:
Passo 7
Substituindo $ v $ na equação anterior:
Passo 8
Vamos reorganizar a equação para isolar $ T^2 $:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto, demonstramos que a relação para órbitas keplerianas $ T^2 \propto r^3 $ pode ser obtida a partir da terceira lei de Kepler utilizando a Lei da Gravitação Universal e conceitos de movimento circular.