Mostre que a relação para órbitas keplerianas do exercício anterior pode ser obtida a partir da terceira lei de Kepler.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação para órbitas keplerianas pode ser derivada a partir da terceira lei de Kepler. Isso está relacionado à astronomia e física, especificamente ao estudo das leis do movimento planetário de Kepler. Para resolver, vamos precisar entender a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital de um planeta com o tamanho da sua órbita, e usar um pouco de física básica sobre movimento circular e gravitação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a terceira lei de Kepler. Ela diz que o quadrado do período orbital $ T $ de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior $ a $ da sua órbita. Em fórmula, isso fica:
T
Isso significa que se a gente sabe o tempo que um planeta leva para dar uma volta completa ao redor do Sol, podemos relacionar esse tempo com o tamanho da sua órbita.

Passo 3

Agora, para conectar isso com a física, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional $ F $ entre dois corpos é:
F
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa do Sol,
  • $ m $ é a massa do planeta,
  • $ r $ é a distância entre eles.

Passo 4

Além disso, para um movimento circular, a força centrípeta $ F_c $ necessária para manter o planeta na órbita é dada por:
Fc
Onde $ v $ é a velocidade orbital do planeta.

Passo 5

Como o planeta está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
G M mr^2 = m v^2r
Podemos simplificar cancelando $ m $ e multiplicando ambos os lados por $ r $:
m

Passo 6

Sabemos que a velocidade $ v $ também pode ser expressa em termos do período $ T $ e do raio $ r $ da órbita. A circunferência da órbita é $ 2\pi r $, então:
v

Passo 7

Substituindo $ v $ na equação anterior:
v
G Mr = ( 2pi rT )^2

Passo 8

Vamos reorganizar a equação para isolar $ T^2 $:
T^2
Isso mostra que:
T^2 = 4pi^2 r^3G M

Resposta

Portanto, demonstramos que a relação para órbitas keplerianas $ T^2 \propto r^3 $ pode ser obtida a partir da terceira lei de Kepler utilizando a Lei da Gravitação Universal e conceitos de movimento circular.

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