Mostre que a relação entre a velocidade de rotação galáctica Theta e a distância galactocêntrica R é válida para a rotação rígida Theta=omega cdot R, pode ser obtida admitindo que a densidade rho do disco da Galáxia é constante.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para mostrar que a relação entre a velocidade de rotação galáctica Theta e a distância galactocêntrica R é válida para uma rotação rígida, onde Theta = omega cdot R. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica galáctica, especificamente como a densidade constante rho do disco da Galáxia influencia essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma rotação rígida, todas as partes da galáxia giram com a mesma velocidade angular omega. Isso significa que a velocidade de rotação Theta em qualquer ponto a uma distância R do centro é proporcional a R, ou seja, Theta = omega cdot R.

Passo 3

Agora, vamos considerar a força centrípeta necessária para manter uma estrela em órbita estável na galáxia. A força centrípeta por unidade de massa é dada por:
ac = Theta^2R
Essa aceleração precisa ser fornecida pela atração gravitacional da galáxia.

Passo 4

A força gravitacional por unidade de massa em uma galáxia com densidade constante rho dentro de uma distância R é:
ag = 4pi G rho R3
onde G é a constante gravitacional.

Passo 5

Para que a estrela mantenha uma órbita estável, a aceleração centrípeta deve ser igual à aceleração gravitacional:
Theta^2R = 4pi G rho R3

Passo 6

Agora, substituímos a relação da rotação rígida Theta = omega cdot R na equação acima:
(omega R)^2R = 4pi G rho R3
Simplificando o lado esquerdo:
omega^2 R = 4pi G rho R3

Passo 7

Podemos dividir ambos os lados por R (assumindo que R neq 0):
omega^2 = 4pi G rho3
Isso mostra que a velocidade angular omega é constante, o que confirma a rotação rígida.

Passo 8

Finalmente, voltando à relação Theta = omega cdot R, agora sabemos que omega é constante, então:
Theta = omega cdot R
Isso confirma que para uma densidade constante rho, a velocidade de rotação galáctica Theta é proporcional à distância galactocêntrica R, caracterizando uma rotação rígida.

Resposta

A relação Theta = omega cdot R é válida quando a densidade do disco galáctico é constante.

Exercícios relacionados