Mostre que a relação entre a velocidade de rotação galáctica
e a distância galactocêntrica
é válida para a rotação rígida
, pode ser obtida admitindo que a densidade
do disco da Galáxia é constante.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para mostrar que a relação entre a velocidade de rotação galáctica
e a distância galactocêntrica
é válida para uma rotação rígida, onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica galáctica, especificamente como a densidade constante
do disco da Galáxia influencia essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma rotação rígida, todas as partes da galáxia giram com a mesma velocidade angular
. Isso significa que a velocidade de rotação
em qualquer ponto a uma distância
do centro é proporcional a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a força centrípeta necessária para manter uma estrela em órbita estável na galáxia. A força centrípeta por unidade de massa é dada por:
Essa aceleração precisa ser fornecida pela atração gravitacional da galáxia.
Passo 4
A força gravitacional por unidade de massa em uma galáxia com densidade constante
dentro de uma distância
é:
onde
é a constante gravitacional.
Passo 5
Para que a estrela mantenha uma órbita estável, a aceleração centrípeta deve ser igual à aceleração gravitacional:
Passo 6
Agora, substituímos a relação da rotação rígida
na equação acima:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Isso mostra que a velocidade angular
é constante, o que confirma a rotação rígida.
Passo 8
Finalmente, voltando à relação
, agora sabemos que
é constante, então:
Isso confirma que para uma densidade constante
, a velocidade de rotação galáctica
é proporcional à distância galactocêntrica
, caracterizando uma rotação rígida.
Resposta
A relação
é válida quando a densidade do disco galáctico é constante.