Considere o movimento unidimensional de um objeto cuja aceleração tangencial é dada por
em unidades do SI, onde
é a posição ao longo da trajetória (variável de espaço) e
é uma constante. Suponha que o sistema possa ser escrito como um sistema de primeira ordem nas variáveis (
) com
e
.
Sabendo que o objeto passa pela origem
com velocidade
, determine a velocidade em
para alguns valores de
. Considere os seguintes três casos:
Em cada caso:
(a) Determine os pontos de equilíbrio (pontos fixos) do sistema no plano
.
(b) Classifique o tipo de cada ponto de equilíbrio.
(c) Trace qualitativamente (esboce) o retrato de fase no plano (
), indicando as trajetórias representativas e o comportamento próximo dos equilíbrios.
(d) Indique se existem ciclos limites, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas para o caso em questão. Justifique brevemente sua resposta.
(a) Determine os pontos de equilíbrio (pontos fixos) do sistema no plano
(b) Classifique o tipo de cada ponto de equilíbrio.
(c) Trace qualitativamente (esboce) o retrato de fase no plano (
(d) Indique se existem ciclos limites, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas para o caso em questão. Justifique brevemente sua resposta.
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que ele pede. O enunciado fornece:
e define o sistema de primeira ordem nas variáveis
por
Também sabemos a condição inicial na passagem pela origem:
Pede-se, para cada caso
,
(a) os pontos de equilíbrio no plano ;
(b) a classificação de cada equilíbrio;
(c) um esboço qualitativo do retrato de fase (trajetórias representativas e comportamento perto dos equilíbrios);
(d) indicar se existem ciclos-limite, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas, com justificativa.
Além disso, precisamos determinar a velocidade em para cada valor de
.
(a) os pontos de equilíbrio no plano
(b) a classificação de cada equilíbrio;
(c) um esboço qualitativo do retrato de fase (trajetórias representativas e comportamento perto dos equilíbrios);
(d) indicar se existem ciclos-limite, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas, com justificativa.
Além disso, precisamos determinar a velocidade em
Passo 2
Primeira técnica que vamos usar: transformar a equação de segunda ordem para uma equação que relacione
e
. Isso é útil porque a aceleração está dada como função de
e
(aqui não depende explicitamente de
, só de
), e queremos a velocidade quando o corpo atinge certa posição
.
Explicação do método (cadeia de derivação): como
, podemos escrever
Isto é uma identidade útil: relaciona a derivada temporal de
com a derivada de
em relação ao espaço
. Agora igualamos isso à aceleração dada:
Esta é uma equação em
e
que podemos integrar diretamente em relação a
.
Passo 3
Integramos a equação do passo anterior entre a posição inicial
(onde
) e uma posição genérica
. A integração é:
onde troquei a variável de integração espacial para
para não confundir. A integral do lado esquerdo dá
. No lado direito fazemos a integral termo a termo:
Somando os dois termos do lado direito obtemos
. Portanto
Isolando
fica
Como temos
, escrevemos a fórmula útil para a velocidade em função da posição:
Observação física/didática: essa relação é uma forma de conservação de energia para este sistema; podemos também ver que a quantidade
é constante ao longo das trajetórias (diferenciando
e usando as equações do sistema obtém-se
). Isso explica por que o sistema tem trajetórias de nível de
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula obtida ao ponto pedido
. Substituímos
em
Façamos as contas simbólicas antes de substituir
:
então
Logo
O sinal: nossa condição inicial tem
, ou seja, o corpo está se deslocando em direção a
; então a velocidade em
durante essa trajetória será positiva. Assim escolhemos o sinal positivo:
Passo 5
Calculemos os valores numéricos para cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
(Escolhi a raiz positiva porque a trajetória começa com
e atinge
com velocidade positiva.)
Passo 6
Agora vamos achar os pontos de equilíbrio do sistema e explico o método de linearização e classificação.
Pontos de equilíbrio ocorrem quando
e
. Isto dá o sistema
A segunda equação implica
Assim, dependendo do sinal de
teremos ou não soluções adicionais reais além de
.
Para classificar cada equilíbrio usamos linearização: avaliamos a matriz Jacobiana do campo de velocidades
Nos pontos de equilíbrio
as autofunções (autovalores)
satisfazem
ou seja
Regras de classificação (explicação simples):
- Se
então os autovalores são puramente imaginários e o ponto linearmente é um centro (trajectórias fechadas ao redor, comportamento neutramente estável para sistemas conservativos). - Se
os autovalores são reais de sinais opostos e o ponto é uma sela (saddle), instável, com variedades estáveis e instáveis.
(Observação: traços nulos e determinante positivo/negativo determinam esses casos; aqui o traço é zero sempre.)]
Passo 7
Aplicação aos casos:
Caso
:
- Equilíbrios: da equação
, só temos . Logo único ponto de equilíbrio . - Jacobiano em
: . Autovalores . Portanto é um centro linear. Como o sistema é conservativo (energia conservada), as trajetórias são órbitas fechadas periódicas (oscilador harmônico quando ); período porque . - Retrato de fase qualitativo: centros com órbitas fechadas concêntricas em torno de
. Setas seguem o sentido dado por : quando avançamos para a direita em , quando voltamos para a esquerda. - Ciclos-limite/órbitas especiais: não há ciclos-limite atrativos (sistema conservativo), nem homoclínicas/heteroclinicas porque não há pontos sela.
Caso
:
- Equilíbrios: novamente
para todo , logo só . Ponto de equilíbrio . - Jacobiano em
dá (porque em ), então é também um centro linear. Nonlinearmente é um centro sendo o sistema conservativo com potencial quartico positivo adicional; as órbitas são fechadas, mais “não circulares” (leis não-lineares) mas ainda fechadas. - Retrato de fase qualitativo: mesmas características gerais do caso
: famílias de órbitas fechadas ao redor do centro; as órbitas representam níveis do Hamiltoniano . - Ciclos-limite/órbitas especiais: não há ciclos-limite; nem homoclínicas/heteroclínicas (sem saddles).
Caso
:
- Equilíbrios: além de
, a equação tem solução real porque . Calculamos
portanto
Assim existem três equilíbrios:
e
.
- Classificação via
: em temos logo é um centro (mínimo local do potencial).
Paracom temos
Logo os pontos
são selas (saddle points, hiperbólicos).
- Observação pelo potencial
com : tem um mínimo local em (poço central) e máximos locais em ; para muito grande a parte domina e, como , . Isso gera um poço central cercado por cristas (saddles) e depois queda do potencial para . - Retrato de fase qualitativo: ao redor de
existem órbitas fechadas (trajectórias ligadas ao poço central) para energias menores que . No nível de energia igual a aparece a separatriz (curva que passa arbitrariamente próxima do saddle) — essa separatriz é associada a uma órbita homoclínica (explico abaixo). Para energias maiores que as trajetórias são abertas e vão para infinito (porque o potencial cai indefinidamente), isto é, trajetórias que atravessam a região dos saddles e escapam para . - Valores numéricos úteis: em
, o valor do potencial é
A energia inicial com
é
que é maior do que
, portanto a trajetória que começa em
tem energia suficiente para ultrapassar as cristas e escapar para grandes
.
Passo 8
Discutindo especificamente ciclos-limite, órbitas homoclínicas e heteroclínicas:
- Ciclos-limite: ciclos-limite são órbitas periódicas isoladas que atraem ou repelem vizinhança (fenômeno típico de sistemas dissipativos). Nosso sistema é conservativo (energia
é constante) — não há dissipação nem atração assintótica. Portanto não existem ciclos-limite (nem atraentes nem repulsivos) em nenhum dos casos. - Homoclínicas/heteroclínicas (definição breve): uma órbita homoclínica aproxima-se de um ponto de equilíbrio hiperbólico quando
(volta ao mesmo ponto), enquanto uma heteroclínica liga dois pontos de equilíbrio hiperbólicos distintos quando e . - Para
não há saddles, logo não existem órbitas homoclínicas nem heteroclínicas. - Para
existem saddles em . As curvas de nível da energia com valor exatamente formam as separatrizes que, para cada saddle, correspondem a órbitas que saem do saddle ao longo da variedade instável e retornam a ele pela variedade estável — isto é a definição de órbita homoclínica. Portanto existem órbitas homoclínicas (um laço separador associado a cada saddle); não existem heteroclínicas ligando o saddle positivo ao negativo (as trajetórias que passam por energia exatamente igual ao topo formam laços homoclínicos em torno do poço central, não conexões assintóticas entre os dois saddles distintos). Em suma: para há homoclínicas; não há heteroclínicas. Justificativa: a simetria e a estrutura do potencial (máximos locais simétricos e poço central) produzem separatrizes em volta do poço que retornam ao mesmo saddle.
- Para
Passo 9
Comentário sintético e incentivo: já resolvemos a parte de integrar para achar
, calculamos os valores numéricos pedidos em
e classificamos os equilíbrios e os tipos de trajetórias para cada
. Respire fundo: com esses passos você tem o procedimento que precisa aplicar rapidamente na prova — usar
para obter a relação energia/posição e linearizar com a Jacobiana para classificar pontos fixos.
Resposta
k=0:\nVelocidade em
:
\n(a) pontos de equilíbrio:
.\n(b) classificação: centro linear (autovalores
); centro não assintoticamente estável (órbitas periódicas). \n(c) retrato de fase: famílias de órbitas fechadas concêntricas ao redor de
(oscilador harmônico). \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não existem ciclos-limite; não há órbitas homoclínicas nem heteroclínicas (sem saddles).
k=0{,}015:\nVelocidade em
:
\n(a) pontos de equilíbrio:
(único). \n(b) classificação: centro linear (autovalores
); centro conservativo (órbitas fechadas). \n(c) retrato de fase: órbitas fechadas ao redor do centro; curvas de nível do Hamiltoniano
. \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não existem ciclos-limite; não existem homoclínicas nem heteroclínicas.
k=-0{,}015:\nVelocidade em
:
\n(a) pontos de equilíbrio:
e
. \n(b) classificação:
é um centro (mínimo local do potencial, autovalores puros imaginários);
são selas (saddle points, autovalores reais de sinais opostos). \n(c) retrato de fase: órbitas fechadas ao redor de
para energias
; nível crítico
dá as separatrizes que passam arbitrariamente próximas dos saddles; para
trajetórias abertas que escapam para
. \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não há ciclos-limite (sistema conservativo). Existem órbitas homoclínicas associadas às separatrizes dos saddles (curvas de energia
); não há heteroclínicas entre os dois saddles (não há conexões assintóticas saddle
outro saddle).