Considere o movimento unidimensional de um objeto cuja aceleração tangencial é dada por
a_{t}(s, v)=-4 s\left(1+k s^{2}\right)
em unidades do SI, onde s é a posição ao longo da trajetória (variável de espaço) e k é uma constante. Suponha que o sistema possa ser escrito como um sistema de primeira ordem nas variáveis ( s, v ) com v=\dot{s} e \dot{v}=a_{t}(s, v).
Sabendo que o objeto passa pela origem s=0 com velocidade v(0)=17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a velocidade em s=4 \mathrm{~m} para alguns valores de k. Considere os seguintes três casos:
k=0, \quad k=0,015, \quad k=-0,015 .
Em cada caso:
(a) Determine os pontos de equilíbrio (pontos fixos) do sistema no plano (s, v).
(b) Classifique o tipo de cada ponto de equilíbrio.
(c) Trace qualitativamente (esboce) o retrato de fase no plano ( s, v ), indicando as trajetórias representativas e o comportamento próximo dos equilíbrios.
(d) Indique se existem ciclos limites, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas para o caso em questão. Justifique brevemente sua resposta.

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que ele pede. O enunciado fornece:
a_{t}(s,v) = -4 s\bigl(1 + k s^{2}\bigr),
e define o sistema de primeira ordem nas variáveis (s,v) por
\dot{s}=v,\qquad \dot{v}=a_{t}(s,v) = -4 s\bigl(1 + k s^{2}\bigr).
Também sabemos a condição inicial na passagem pela origem:
s(0)=0,\qquad v(0)=17\\ \text{m/s}.
Pede-se, para cada caso k=0,\\ k=0{,}015,\\ k=-0{,}015,
(a) os pontos de equilíbrio no plano (s,v);
(b) a classificação de cada equilíbrio;
(c) um esboço qualitativo do retrato de fase (trajetórias representativas e comportamento perto dos equilíbrios);
(d) indicar se existem ciclos-limite, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas, com justificativa.
Além disso, precisamos determinar a velocidade em s=4\\ \text{m} para cada valor de k.

Passo 2

Primeira técnica que vamos usar: transformar a equação de segunda ordem para uma equação que relacione v e s. Isso é útil porque a aceleração está dada como função de s e v (aqui não depende explicitamente de v, só de s), e queremos a velocidade quando o corpo atinge certa posição s.
Explicação do método (cadeia de derivação): como v=\dot{s}, podemos escrever
\dot{v} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} = v\frac{dv}{ds}.
Isto é uma identidade útil: relaciona a derivada temporal de v com a derivada de v em relação ao espaço s. Agora igualamos isso à aceleração dada:
v\frac{dv}{ds} = -4 s\bigl(1 + k s^{2}\bigr).
Esta é uma equação em v e s que podemos integrar diretamente em relação a s.

Passo 3

Integramos a equação do passo anterior entre a posição inicial s=0 (onde v=v(0)=17) e uma posição genérica s. A integração é:
\int_{v(0)}^{v(s)} v\,dv \;=\; \int_{0}^{s} -4 u\bigl(1 + k u^{2}\bigr)\,du,
onde troquei a variável de integração espacial para u para não confundir. A integral do lado esquerdo dá \tfrac{1}{2}\bigl(v(s)^{2}-v(0)^{2}\bigr). No lado direito fazemos a integral termo a termo:
\int_{0}^{s} -4u\,du = -2 s^{2}, \qquad \int_{0}^{s} -4k u^{3}\,du = -k s^{4}.
Somando os dois termos do lado direito obtemos -2 s^{2} - k s^{4}. Portanto
\frac{1}{2}\bigl(v(s)^{2}-v(0)^{2}\bigr) = -2 s^{2} - k s^{4}.
Isolando v(s)^{2} fica
v(s)^{2} = v(0)^{2} -4 s^{2} -2 k s^{4}.
Como temos v(0)=17, escrevemos a fórmula útil para a velocidade em função da posição:
\boxed{\,v(s)^{2} = 17^{2} -4 s^{2} -2 k s^{4}\,.}
Observação física/didática: essa relação é uma forma de conservação de energia para este sistema; podemos também ver que a quantidade
H(s,v)=\tfrac{1}{2}v^{2} + U(s),\qquad U(s)=2 s^{2} + k s^{4},
é constante ao longo das trajetórias (diferenciando H e usando as equações do sistema obtém-se dH/dt=0). Isso explica por que o sistema tem trajetórias de nível de H.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula obtida ao ponto pedido s=4\\ \text{m}. Substituímos s=4 em
v(4)^{2} = 17^{2} -4\cdot 4^{2} -2 k \cdot 4^{4}.
Façamos as contas simbólicas antes de substituir k:
4^{2}=16,\qquad 4^{4}=256,
então
v(4)^{2} = 289 -4\cdot 16 -2k\cdot 256 = 289 -64 -512 k = 225 -512 k.
Logo
\boxed{\,v(4)=\pm\sqrt{225 -512 k}\,.}
O sinal: nossa condição inicial tem v(0)=17>0, ou seja, o corpo está se deslocando em direção a s>0; então a velocidade em s=4 durante essa trajetória será positiva. Assim escolhemos o sinal positivo:
v(4)=\sqrt{225 -512 k}\quad(\text{velocidade ao atingir }s=4\text{ na trajetória dada}).ó

Passo 5

Calculemos os valores numéricos para cada k.
Para k=0:
v(4)=\sqrt{225 -512\cdot 0}=\sqrt{225}=15{,}00\\ \text{m/s}.
Para k=0{,}015:
512\cdot 0{,}015 = 7{,}68,\qquad 225-7{,}68=217{,}32,
v(4)=\sqrt{217{,}32}\approx 14{,}74\\ \text{m/s}.
Para k=-0{,}015:
512\cdot(-0{,}015)=-7{,}68,\qquad 225-(-7{,}68)=232{,}68,
v(4)=\sqrt{232{,}68}\approx 15{,}26\\ \text{m/s}.
(Escolhi a raiz positiva porque a trajetória começa com v(0)=17>0 e atinge s=4 com velocidade positiva.)

Passo 6

Agora vamos achar os pontos de equilíbrio do sistema e explico o método de linearização e classificação.
Pontos de equilíbrio ocorrem quando \dot{s}=0 e \dot{v}=0. Isto dá o sistema
v=0,\qquad -4 s\bigl(1 + k s^{2}\bigr)=0.
A segunda equação implica
s=0 \quad\text{ou}\quad 1 + k s^{2}=0 \\ \Longrightarrow\\ s^{2} = -\frac{1}{k}.
Assim, dependendo do sinal de k teremos ou não soluções adicionais reais além de s=0.
Para classificar cada equilíbrio usamos linearização: avaliamos a matriz Jacobiana do campo de velocidades
J(s,v) = \begin{pmatrix} \partial_{s}\dot{s} & \partial_{v}\dot{s} \\[4pt] \partial_{s}\dot{v} & \partial_{v}\dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] -4\bigl(1 + 3k s^{2}\bigr) & 0 \end{pmatrix}.
Nos pontos de equilíbrio (s^{*},0) as autofunções (autovalores) \lambda satisfazem
\lambda^{2} + 4\bigl(1 + 3k s^{*2}\bigr) = 0,
ou seja
\lambda = \pm 2i\sqrt{1 + 3k s^{*2}}.
Regras de classificação (explicação simples):
  • Se 1 + 3k s^{*2} > 0 então os autovalores são puramente imaginários e o ponto linearmente é um centro (trajectórias fechadas ao redor, comportamento neutramente estável para sistemas conservativos).
  • Se 1 + 3k s^{*2} < 0 os autovalores são reais de sinais opostos e o ponto é uma sela (saddle), instável, com variedades estáveis e instáveis.
    (Observação: traços nulos e determinante positivo/negativo determinam esses casos; aqui o traço é zero sempre.)]

Passo 7

Aplicação aos casos:
Caso k=0:
  • Equilíbrios: da equação 1 + k s^{2}=1\neq0, só temos s=0. Logo único ponto de equilíbrio (0,0).
  • Jacobiano em (0,0): J=\begin{pmatrix}0&1\\\ -4&0\end{pmatrix}. Autovalores \lambda=\pm 2i. Portanto (0,0) é um centro linear. Como o sistema é conservativo (energia conservada), as trajetórias são órbitas fechadas periódicas (oscilador harmônico quando k=0); período \;T=\pi porque \omega=2.
  • Retrato de fase qualitativo: centros com órbitas fechadas concêntricas em torno de (0,0). Setas seguem o sentido dado por v: quando v>0 avançamos para a direita em s, quando v<0 voltamos para a esquerda.
  • Ciclos-limite/órbitas especiais: não há ciclos-limite atrativos (sistema conservativo), nem homoclínicas/heteroclinicas porque não há pontos sela.
Caso k=0{,}015>0:
  • Equilíbrios: novamente 1 + k s^{2}>0 para todo s, logo só s=0. Ponto de equilíbrio (0,0).
  • Jacobiano em (0,0) \lambda=\pm 2i (porque 1+3k s^{2}=1 em s=0), então (0,0) é também um centro linear. Nonlinearmente é um centro sendo o sistema conservativo com potencial quartico positivo adicional; as órbitas são fechadas, mais “não circulares” (leis não-lineares) mas ainda fechadas.
  • Retrato de fase qualitativo: mesmas características gerais do caso k=0: famílias de órbitas fechadas ao redor do centro; as órbitas representam níveis do Hamiltoniano \tfrac{1}{2}v^{2}+2s^{2}+k s^{4}.
  • Ciclos-limite/órbitas especiais: não há ciclos-limite; nem homoclínicas/heteroclínicas (sem saddles).
Caso k=-0{,}015<0:
  • Equilíbrios: além de s=0, a equação 1 + k s^{2}=0 tem solução real porque -1/k >0. Calculamos
s^{2} = -\frac{1}{k} = \frac{1}{0{,}015} \approx 66{,}6667,
portanto
s^{*} = \pm \sqrt{\tfrac{1}{0{,}015}} \approx \pm 8{,}16497.
Assim existem três equilíbrios: (0,0) e \bigl(\pm 8{,}16497,0\bigr).
  • Classificação via 1 + 3k s^{*2}: em s^{*}=0 temos 1+3k\cdot 0 =1>0 logo (0,0) é um centro (mínimo local do potencial).
    Para s^{*} com s^{*2}=-1/k temos
1 + 3k s^{*2} = 1 + 3k\bigl(-\tfrac{1}{k}\bigr) = 1 - 3 = -2 <0.
Logo os pontos \bigl(\pm 8{,}16497,0\bigr) são selas (saddle points, hiperbólicos).
  • Observação pelo potencial U(s)=2s^{2}+k s^{4} com k<0: U tem um mínimo local em s=0 (poço central) e máximos locais em s=\pm 8{,}16497; para |s| muito grande a parte k s^{4} domina e, como k<0, U(s)\to -\infty. Isso gera um poço central cercado por cristas (saddles) e depois queda do potencial para -\infty.
  • Retrato de fase qualitativo: ao redor de (0,0) existem órbitas fechadas (trajectórias ligadas ao poço central) para energias menores que U(s^{*}). No nível de energia igual a U(s^{*}) aparece a separatriz (curva que passa arbitrariamente próxima do saddle) — essa separatriz é associada a uma órbita homoclínica (explico abaixo). Para energias maiores que U(s^{*}) as trajetórias são abertas e vão para infinito (porque o potencial cai indefinidamente), isto é, trajetórias que atravessam a região dos saddles e escapam para |s|\to\infty.
  • Valores numéricos úteis: em s^{*2}=66{,}6667, o valor do potencial é
U(s^{*}) = 2 s^{*2}+k s^{*4} = 2\cdot 66{,}6667 -0{,}015\cdot 4444{,}444 \approx 133{,}3334 -66{,}6667 = 66{,}6667.
A energia inicial com v(0)=17 é
H_0 = \tfrac{1}{2}\cdot 17^{2} + U(0) = \tfrac{1}{2}\cdot 289 + 0 = 144{,}5,
que é maior do que U(s^{*}), portanto a trajetória que começa em s=0,v=17 tem energia suficiente para ultrapassar as cristas e escapar para grandes |s|.

Passo 8

Discutindo especificamente ciclos-limite, órbitas homoclínicas e heteroclínicas:
  • Ciclos-limite: ciclos-limite são órbitas periódicas isoladas que atraem ou repelem vizinhança (fenômeno típico de sistemas dissipativos). Nosso sistema é conservativo (energia H é constante) — não há dissipação nem atração assintótica. Portanto não existem ciclos-limite (nem atraentes nem repulsivos) em nenhum dos casos.
  • Homoclínicas/heteroclínicas (definição breve): uma órbita homoclínica aproxima-se de um ponto de equilíbrio hiperbólico quando t\to\pm\infty (volta ao mesmo ponto), enquanto uma heteroclínica liga dois pontos de equilíbrio hiperbólicos distintos quando t\to -\infty e t\to +\infty.
    • Para k\ge 0 não há saddles, logo não existem órbitas homoclínicas nem heteroclínicas.
    • Para k=-0{,}015 existem saddles em \pm s^{*}. As curvas de nível da energia com valor exatamente H=U(s^{*}) formam as separatrizes que, para cada saddle, correspondem a órbitas que saem do saddle ao longo da variedade instável e retornam a ele pela variedade estável — isto é a definição de órbita homoclínica. Portanto existem órbitas homoclínicas (um laço separador associado a cada saddle); não existem heteroclínicas ligando o saddle positivo ao negativo (as trajetórias que passam por energia exatamente igual ao topo formam laços homoclínicos em torno do poço central, não conexões assintóticas entre os dois saddles distintos). Em suma: para k=-0{,}015 há homoclínicas; não há heteroclínicas. Justificativa: a simetria e a estrutura do potencial (máximos locais simétricos e poço central) produzem separatrizes em volta do poço que retornam ao mesmo saddle.

Passo 9

Comentário sintético e incentivo: já resolvemos a parte de integrar para achar v(s), calculamos os valores numéricos pedidos em s=4 e classificamos os equilíbrios e os tipos de trajetórias para cada k. Respire fundo: com esses passos você tem o procedimento que precisa aplicar rapidamente na prova — usar v\,dv/ds=a(s) para obter a relação energia/posição e linearizar com a Jacobiana para classificar pontos fixos.

Resposta

k=0:\nVelocidade em s=4: v(4)=15{,}00\\ \mathrm{m/s}.\n(a) pontos de equilíbrio: (s,v)=(0,0).\n(b) classificação: centro linear (autovalores \pm 2i); centro não assintoticamente estável (órbitas periódicas). \n(c) retrato de fase: famílias de órbitas fechadas concêntricas ao redor de (0,0) (oscilador harmônico). \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não existem ciclos-limite; não há órbitas homoclínicas nem heteroclínicas (sem saddles).
k=0{,}015:\nVelocidade em s=4: v(4)\approx 14{,}74\\ \mathrm{m/s}.\n(a) pontos de equilíbrio: (s,v)=(0,0) (único). \n(b) classificação: centro linear (autovalores \pm 2i); centro conservativo (órbitas fechadas). \n(c) retrato de fase: órbitas fechadas ao redor do centro; curvas de nível do Hamiltoniano \tfrac{1}{2}v^{2}+2s^{2}+k s^{4}. \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não existem ciclos-limite; não existem homoclínicas nem heteroclínicas.
k=-0{,}015:\nVelocidade em s=4: v(4)\approx 15{,}26\\ \mathrm{m/s}.\n(a) pontos de equilíbrio: (s,v)=(0,0) e (s,v)=\bigl(\pm \sqrt{1/0{,}015},0\bigr)\approx (\pm 8{,}16497,0). \n(b) classificação: (0,0) é um centro (mínimo local do potencial, autovalores puros imaginários); \bigl(\pm 8{,}16497,0\bigr) são selas (saddle points, autovalores reais de sinais opostos). \n(c) retrato de fase: órbitas fechadas ao redor de (0,0) para energias H<U(s^{*}); nível crítico H=U(s^{*}) dá as separatrizes que passam arbitrariamente próximas dos saddles; para H>U(s^{*}) trajetórias abertas que escapam para |s|\to\infty. \n(d) ciclos-limite/homoclínicas/heteroclínicas: não há ciclos-limite (sistema conservativo). Existem órbitas homoclínicas associadas às separatrizes dos saddles (curvas de energia H=U(s^{*})); não há heteroclínicas entre os dois saddles (não há conexões assintóticas saddle \mapstooutro saddle).

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