Seja
. Denotando por
o argumento do número complexo
, explique a relação entre
e
. (Atenção: não são a mesma coisa.)
Passo 1
O enunciado dá um número complexo
com
e pede para explicar a relação entre
(o argumento de
) e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
com e . -
é o argumento (ângulo) de , que é uma quantidade angular definida modulo e normalmente se toma uma escolha principal (ex.: intervalo ou ). -
é a função arco-tangente usual, com valor principal em .
O que é pedido: explicar como esses dois objetos se relacionam — quando são iguais, quando diferem e por quê — sem assumir que são a mesma coisa.
Passo 2
Começando pelo básico geométrico: escrevendo
em coordenadas polares tem-se
onde
e
é um ângulo tal que
e
. Por isso vale, quando
,
Ou seja, o argumento
de
satisfaz
sempre que
.
Passo 3
Agora sobre
. A função
fornece o ângulo
tal que
. Como a tangente é
-periódica, as soluções gerais de
são
Isto mostra a razão fundamental pela qual
e
não são a mesma coisa:
dá apenas a solução principal (num intervalo de amplitude
), enquanto o argumento precisa escolher, dentre todos esses ângulos separados por
, aquele que corresponde à posição correta no círculo (ou a classe modulo
).
Passo 4
Como, na prática, se escolhe o valor certo de
? Pelo sinal de
e
— isto é, pela quadrante em que o ponto
está. Aqui vai a regra clara e prática (escolhendo a convenção usual para a parte principal de
em
):
- Se
então e o ângulo real está em , logo - Se
então fornece um ângulo deslocado de do ângulo correto; concretamente: - se
(segunda quadrante) então - se
(terceira quadrante) então
- se
- Se
e então (a expressão não está definida porque é infinito). - Se
e então . - Se
não existe (indefinido).
Essas fórmulas fazem exatamente a correção de quadrante que faltava em
.
Passo 5
Vamos ver exemplos rápidos para fixar (usei números fáceis para checar a regra):
-
(primeiro quadrante): e . -
(segundo quadrante): , mas . -
(terceiro quadrante): , mas .
Nesta última observa-se quenão distingue os pontos e porque eles têm a mesma razão , mas os argumentos são distintos (diferença ).
Passo 6
Uma forma prática e usual em computação e em muitas fórmulas é usar a função
, que implementa exatamente a correção de quadrante acima. Assim muitas vezes escrevemos
onde
retorna um valor no intervalo
(ou outra convenção de principal, dependendo da implementação) e trata os casos
corretamente. Portanto, em vez de usar
isoladamente, é mais robusto usar
.
Passo 7
Observações finais importantes e intuição geométrica:
- Geometricamente,
dá o ângulo da reta que passa pela origem e por , mas essa reta tem duas direções opostas (ângulos separados por ); para escolher a direção correta é preciso saber em que lado do plano o ponto está (sinais de e ). - A ambiguidade de
é a mesma ambiguidade da função tangente: . - Ao tomar uma escolha principal para
aparece um “corte de ramo” (por exemplo o semieixo negativo real) onde a função argumento salta de para ; isso é um efeito normal de definir uma função angular contínua numa escolha de intervalo de comprimento .