Seja z=x+i y \in \mathbb{C}. Denotando por \operatorname{Arg} z o argumento do número complexo z \neq 0, explique a relação entre \operatorname{Arg} z e \arctan (y / x). (Atenção: não são a mesma coisa.)

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z=x+i y com z\neq0 e pede para explicar a relação entre \operatorname{Arg} z (o argumento de z) e \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • z=x+i y com x,y\in\mathbb{R} e z\neq0.
  • \operatorname{Arg} z é o argumento (ângulo) de z, que é uma quantidade angular definida modulo 2\pi e normalmente se toma uma escolha principal (ex.: intervalo (-\pi,\pi] ou [0,2\pi)).
  • \arctan é a função arco-tangente usual, com valor principal em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
    O que é pedido: explicar como esses dois objetos se relacionam — quando são iguais, quando diferem e por quê — sem assumir que são a mesma coisa.

Passo 2

Começando pelo básico geométrico: escrevendo z em coordenadas polares tem-se
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 e \theta é um ângulo tal que \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}. Por isso vale, quando x\neq0,
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{y/r}{x/r}=\frac{y}{x}.
Ou seja, o argumento \theta de z satisfaz \tan\theta=\dfrac{y}{x} sempre que x\neq0.

Passo 3

Agora sobre \arctan. A função \arctan fornece o ângulo \varphi\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que \tan\varphi=\dfrac{y}{x}. Como a tangente é \pi-periódica, as soluções gerais de \tan\theta=\dfrac{y}{x} são
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto mostra a razão fundamental pela qual \operatorname{Arg} z e \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) não são a mesma coisa: \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) dá apenas a solução principal (num intervalo de amplitude \pi), enquanto o argumento precisa escolher, dentre todos esses ângulos separados por \pi, aquele que corresponde à posição correta no círculo (ou a classe modulo 2\pi).

Passo 4

Como, na prática, se escolhe o valor certo de k? Pelo sinal de x e y — isto é, pela quadrante em que o ponto (x,y) está. Aqui vai a regra clara e prática (escolhendo a convenção usual para a parte principal de \operatorname{Arg} em (-\pi,\pi]):
  • Se x>0 então \cos\theta>0 e o ângulo real \theta está em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), logo \operatorname{Arg} z = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
  • Se x<0 então \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) fornece um ângulo deslocado de \pi do ângulo correto; concretamente:
    • se y\ge0 (segunda quadrante) então \operatorname{Arg} z = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \pi;
    • se y<0 (terceira quadrante) então \operatorname{Arg} z = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) - \pi.
  • Se x=0 e y>0 então \operatorname{Arg} z = \tfrac{\pi}{2} (a expressão \arctan(y/x) não está definida porque y/x é infinito).
  • Se x=0 e y<0 então \operatorname{Arg} z = -\tfrac{\pi}{2}.
  • Se z=0 não existe \operatorname{Arg} z (indefinido).
Essas fórmulas fazem exatamente a correção de quadrante que faltava em \arctan(y/x).

Passo 5

Vamos ver exemplos rápidos para fixar (usei números fáceis para checar a regra):
  • x=1,y=1 (primeiro quadrante): \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e \operatorname{Arg} z=\tfrac{\pi}{4}.
  • x=-1,y=1 (segundo quadrante): \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{-1}\bigr)=\arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4}, mas \operatorname{Arg} z= -\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{3\pi}{4}.
  • x=-1,y=-1 (terceiro quadrante): \arctan\!\bigl(\tfrac{-1}{-1}\bigr)=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, mas \operatorname{Arg} z=\tfrac{\pi}{4}-\pi=-\tfrac{3\pi}{4}.
    Nesta última observa-se que \arctan(y/x) não distingue os pontos (1,1) e (-1,-1) porque eles têm a mesma razão y/x, mas os argumentos são distintos (diferença \pi).

Passo 6

Uma forma prática e usual em computação e em muitas fórmulas é usar a função \operatorname{atan2}(y,x), que implementa exatamente a correção de quadrante acima. Assim muitas vezes escrevemos
\operatorname{Arg} z = \operatorname{atan2}(y,x),
onde \operatorname{atan2} retorna um valor no intervalo (-\pi,\pi] (ou outra convenção de principal, dependendo da implementação) e trata os casos x=0 corretamente. Portanto, em vez de usar \arctan(y/x) isoladamente, é mais robusto usar \operatorname{atan2}(y,x).

Passo 7

Observações finais importantes e intuição geométrica:
  • Geometricamente, \arctan(y/x) dá o ângulo da reta que passa pela origem e por (x,y), mas essa reta tem duas direções opostas (ângulos separados por \pi); para escolher a direção correta é preciso saber em que lado do plano o ponto está (sinais de x e y).
  • A ambiguidade de \arctan(y/x) é a mesma ambiguidade da função tangente: \tan\theta=\tan(\theta+\pi).
  • Ao tomar uma escolha principal para \operatorname{Arg} aparece um “corte de ramo” (por exemplo o semieixo negativo real) onde a função argumento salta de \pi para -\pi; isso é um efeito normal de definir uma função angular contínua numa escolha de intervalo de comprimento 2\pi.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Arg} z=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+k\pi com k\in\mathbb{Z} (porque \tan é \pi-periódica), e, escolhendo a convenção principal \operatorname{Arg} z\in(-\pi,\pi], tem-se a forma prática:
\operatorname{Arg} z= \begin{cases} \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), & x>0,\\[6pt] \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+\pi, & x<0,\\ y\ge0,\\[6pt] \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)-\pi, & x<0,\\ y<0,\\[6pt] \tfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y>0,\\[6pt] -\tfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y<0,\\[6pt] \text{indefinido}, & z=0. \end{cases}]

Exercícios relacionados