Considere n linhas no plano de forma a que não existam duas linhas paralelas e não ocorra a interseção de três linhas num ponto comum. Em quantas regiões é particionado o plano por estas n linhas? Demonstre.
Passo 1
A questão pede para determinar quantas regiões o plano é dividido por n linhas em posição geral (sem paralelismo nem três concorrentes). O conteúdo aqui é contagem de regiões formadas por linhas e vamos usar um raciocínio por indução/recorrência.
Passo 2
Para começar, quando não temos nenhuma linha, o plano todo é uma única região. Logo, denotando por R₀ o número de regiões com 0 linhas, temos R₀ = 1.
Passo 3
Agora, suponha que com k–1 linhas em posição geral o número de regiões seja R_{k–1}. Ao adicionar a k-ésima linha, ela intersecta cada uma das k–1 linhas anteriores em pontos distintos (porque não há três concurrentes), gerando k–1 pontos de interseção.
Esses k–1 pontos dividem a nova linha em k segmentos. Cada segmento atravessa uma região existente e a divide em duas, criando portanto k novas regiões. Daí obtemos a recorrência:
Esses k–1 pontos dividem a nova linha em k segmentos. Cada segmento atravessa uma região existente e a divide em duas, criando portanto k novas regiões. Daí obtemos a recorrência:
Passo 4
Por fim, somando essa relação para k = 1 até n e lembrando que R₀ = 1, temos:
Resposta
O número de regiões é
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