Considere a sucessão a1, a2, a3, ldots definida por:
& a1=1 & a2=2 & an=an-1+an-2, n >= 3
(a) Determine os valores de a3, a4, a5, a6 e a7.
(b) Mostre que an<(74)^n, forall n in N

Passo 1

Vamos estudar uma sequência definida por recorrência de Fibonacci modificada, onde temos os termos iniciais e a relação an = an-1 + an-2. No item (a) vamos calcular os primeiros termos usando essa relação; no item (b) vamos provar, por indução, que an < l(tfrac74r)^n para todo n natural.

Passo 2

Usando a1=1 e a2=2, aplicamos an = an-1+an-2 passo a passo:
  • a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3
  • a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5
  • a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8
  • a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13
  • a7 = a6 + a5 = 13 + 8 = 21

Passo 3

Para mostrar que an < l(tfrac74r)^n, vamos usar indução matemática sobre n.

Passo 4

Base da indução: para n=1 e n=2 verificamos diretamente:
  • a1 = 1 < tfrac74 = l(tfrac74r)^1
  • a2 = 2 < l(tfrac74r)^2 = tfrac4916 approx 3,06

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k >= 3 valha
ak-1 < l(tfrac74r)^k-1e ak-2 < l(tfrac74r)^k-2,
Então, usando a recorrência,
ak = ak-1 + ak-2 < l(tfrac74r)^k-1 + l(tfrac74r)^k-2 = l(tfrac74r)^k-2l(tfrac74 + 1r) = l(tfrac74r)^k-2 cdot tfrac114,
Como tfrac114 = tfrac4416 < tfrac4916 = l(tfrac74r)^2, segue que
ak < l(tfrac74r)^k-2 cdot l(tfrac74r)^2 = l(tfrac74r)^k,

Passo 6

Concluímos que, por indução, a desigualdade an < l(tfrac74r)^n vale para todo n in N.

Resposta

a_3 = 3, a_4 = 5, a_5 = 8, a_6 = 13, a_7 = 21; e para todo n natural vale a desigualdade a_n < (7/4)^n.

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