Considere a sucessão
definida por:
(a) Determine os valores de
e
.
(b) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
Vamos estudar uma sequência definida por recorrência de Fibonacci modificada, onde temos os termos iniciais e a relação
. No item (a) vamos calcular os primeiros termos usando essa relação; no item (b) vamos provar, por indução, que
para todo n natural.
Passo 2
Usando
e
, aplicamos
passo a passo:
Passo 3
Para mostrar que
, vamos usar indução matemática sobre n.
Passo 4
Base da indução: para
e
verificamos diretamente:
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, usando a recorrência,
Como
, segue que
Passo 6
Concluímos que, por indução, a desigualdade
vale para todo
.
Resposta
a_3 = 3, a_4 = 5, a_5 = 8, a_6 = 13, a_7 = 21; e para todo n natural vale a desigualdade a_n < (7/4)^n.