Encontre as derivadas das funções abaixo.
f(x)=sen(x^2-x+1x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sen x^2 - x + 1x^2 + 1. Vamos usar regra da cadeia (para a função seno) e regra do quociente (para a função interna).

Passo 2

Definimos u(x)=x^2 - x + 1x^2 + 1. Pela regra do quociente, u'(x)=(x^2+1)cdot(2x-1)-(x^2 - x +1)cdot(2x)(x^2+1)^2.
Agora simplificamos o numerador de u'(x):
(x^2+1)(2x-1)-(x^2 - x +1)(2x) =l(2x^3 - x^2 +2x -1r)-l(2x^3 -2x^2 +2xr) = x^2 -1
Logo, u'(x)=x^2 -1(x^2+1)^2.

Passo 3

Aplica-se a regra da cadeia à função f. Como f(x)=sin(u(x)), temos
f'(x)=cosl(u(x)r)cdot u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x) obtemos a derivada final.

Resposta

f'(x)=cos!l(tfracx^2 - x +1x^2 +1r)cdot x^2 -1(x^2+1)^2

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