Empregue o Teorema do Confronto em cada item abaixo:
Mostre que lim x 0 x^4 cos 2x=0.

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que limxto 0 x^4 costfrac2x = 0. O conteúdo principal é o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), e vamos precisar usar que a função costheta está sempre entre -1 e 1.

Passo 2

O Teorema do Confronto diz que, se para todo x em um entorno de um ponto a temos f(x) <= g(x) <= h(x), e se limxto a f(x) = limxto a h(x) = L, então limxto a g(x) = L.

Passo 3

Para a nossa função g(x) = x^4 costfrac2x, primeiro note que para todo xneq 0 vale
-1 <= costfrac2x <= 1,
e como x^4>=0, multiplicando toda a desigualdade por x^4 obtemos
-x^4 <= x^4 costfrac2x <= x^4

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que servem de cota:
limxto 0(-x^4) = 0,
limxto 0 x^4 = 0

Passo 5

Como ambas as cotas tendem a 0 quando xto0, o Teorema do Confronto garante que x^4costfrac2x também tende a 0.

Resposta

0

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