Considere N partículas idênticas com spin
em um campo magnético uniforme
na direção
. Cada partícula possui dois estados de energia,
e
, onde
é o momento magnético da partícula. Suponha que o sistema esteja em equilíbrio térmico com um reservatório térmico a uma temperatura
. Determine: (a) a função de partição canônica
do sistema e (b) a magnetização média
do sistema. Dado: resposta para
:
(c) Calcule a susceptibilidade magnética
do sistema e mostre que no limite de campos magnéticos fracos, a susceptibilidade obedece à Lei de Curie, que afirma que
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) a função de partição canônica
do sistema de
partículas; (b) a magnetização média
do sistema em equilíbrio térmico à temperatura
; (c) a susceptibilidade magnética
e mostrar que, para campos fracos,
obedece à Lei de Curie (
).\n\nInformações dadas e hipóteses úteis (listas de dados do enunciado):\n- Cada partícula tem spin
e momento magnético
alinhado com o eixo
.\n- O campo magnético uniforme é
na direção
; usaremos o módulo
.\n- Os dois níveis de energia de uma partícula são
e
(portanto a orientação “+” tem energia menor se
).\n- O sistema está em equilíbrio térmico com reservatório à temperatura
.\n- Assumo partículas não-interagentes e que cada partícula contribui independentemente para a função de partição total (portanto
do sistema é o produto das partições individuais).\n\nNão resolvo nada neste passo: apenas identifiquei as perguntas e listei os dados que usarei.
Passo 2
Conceito básico e notação que usarei: a função de partição canônica de uma partícula é a soma das probabilidades não-normalizadas (fatores de Boltzmann) sobre todos os estados da partícula. Introduzo
para simplificar cálculos:
onde
é a constante de Boltzmann. Para um estado com energia
, o fator de Boltzmann é
. Vou primeiro calcular a função de partição de uma partícula e depois usar a independência para obter
do sistema inteiro.
Passo 3
Função de partição de uma partícula (cálculo passo a passo): os dois estados têm energias
e
. Então os fatores de Boltzmann são
A função de partição de uma partícula é a soma desses fatores:
Reconhecemos a identidade hiperbólica
, então
Passo 4
Partição do sistema com
partículas independentes: quando as partículas são não-interagentes e cada partícula tem partição
, a partição total é o produto das partições individuais. Logo
Isto responde (a). Vou anotar explicitamente a forma final para a parte (a) na seção de resposta.
Passo 5
Como calcular a magnetização média
: definição e duas maneiras.\n\nDefinição física: a magnetização total
é a soma dos momentos magnéticos ao longo de
das
partículas. A média estatística
pode ser obtida diretamente das probabilidades dos estados ou via derivada da função de partição. Vou mostrar as duas formas porque são úteis na prova.\n\nMétodo A — probabilidade direta (didático): para uma partícula, a probabilidade de estar no estado
é
e a probabilidade de estar no estado
é
O momento magnético em
para o estado
é
e para o estado
é
. Então o valor médio do momento de uma partícula é
Usando
isto fica
Como há
partículas idênticas e independentes, a magnetização total média é
Isto responde (b) (e coincide com a expressão dada).
Passo 6
Método B — derivada da função de partição (identidade útil na prova): para reforçar a intuição, mostro que o mesmo resultado se obtém por derivada de
. A energia total do sistema depende de
, e há a identidade termodinâmica
Substituindo
resulta
Como
, temos
ou seja
Multiplicando por
(lembrando
) retorna
confirmando o resultado do Método A. (Bom: duas vias, mesma resposta.)
Passo 7
Cálculo da susceptibilidade magnética
: definição prática que usarei é
Usando
procedo à derivada. Chamo
para simplificar temporariamente; então
tem derivada
(onde
). Pela regra da cadeia:
Portanto
Esta é a expressão geral da susceptibilidade para qualquer
e
.
Passo 8
Limite de campos magnéticos fracos e Lei de Curie: para campos fracos fazemos
. Note que
, então
. Assim no limite
Portanto
, o que é precisamente a Lei de Curie. O coeficiente de proporcionalidade (constante de Curie) é
neste modelo.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) , e para campos fracos
:
(Lei de Curie:
).
(b)
(c)