Considere N partículas idênticas com spin s=1 / 2 em um campo magnético uniforme \mathbf{B} na direção z. Cada partícula possui dois estados de energia, E_{+}=-\mu B e E_{-}=\mu B, onde \mu é o momento magnético da partícula. Suponha que o sistema esteja em equilíbrio térmico com um reservatório térmico a uma temperatura T. Determine: (a) a função de partição canônica Z do sistema e (b) a magnetização média \langle M\rangle do sistema. Dado: resposta para \langle M\rangle :
\langle M\rangle=N \mu \operatorname{tanh} \left(\frac{\mu B}{k_{B} T}\right)
(c) Calcule a susceptibilidade magnética \chi do sistema e mostre que no limite de campos magnéticos fracos, a susceptibilidade obedece à Lei de Curie, que afirma que \chi \propto 1 / T.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a função de partição canônica Z do sistema de N partículas; (b) a magnetização média \langle M\rangle do sistema em equilíbrio térmico à temperatura T; (c) a susceptibilidade magnética \chi e mostrar que, para campos fracos, \chi obedece à Lei de Curie ( \chi\propto 1/T).\n\nInformações dadas e hipóteses úteis (listas de dados do enunciado):\n- Cada partícula tem spin s=1/2 e momento magnético \mu alinhado com o eixo z.\n- O campo magnético uniforme é \mathbf{B} na direção z; usaremos o módulo B.\n- Os dois níveis de energia de uma partícula são \;E_{+}=-\mu B\; e \;E_{-}=\mu B\; (portanto a orientação “+” tem energia menor se \mu>0).\n- O sistema está em equilíbrio térmico com reservatório à temperatura T.\n- Assumo partículas não-interagentes e que cada partícula contribui independentemente para a função de partição total (portanto Z do sistema é o produto das partições individuais).\n\nNão resolvo nada neste passo: apenas identifiquei as perguntas e listei os dados que usarei.

Passo 2

Conceito básico e notação que usarei: a função de partição canônica de uma partícula é a soma das probabilidades não-normalizadas (fatores de Boltzmann) sobre todos os estados da partícula. Introduzo \beta para simplificar cálculos:
\beta \equiv \frac{1}{k_{B}T},
onde k_{B} é a constante de Boltzmann. Para um estado com energia E, o fator de Boltzmann é \exp(-\beta E). Vou primeiro calcular a função de partição de uma partícula e depois usar a independência para obter Z do sistema inteiro.

Passo 3

Função de partição de uma partícula (cálculo passo a passo): os dois estados têm energias \;E_{+}=-\mu B\; e \;E_{-}=\mu B\;. Então os fatores de Boltzmann são
e^{-\beta E_{+}} = e^{-\beta(-\mu B)} = e^{\beta \mu B},
e^{-\beta E_{-}} = e^{-\beta(\mu B)} = e^{-\beta \mu B}.
A função de partição de uma partícula é a soma desses fatores:
Z_{1} = e^{\beta \mu B} + e^{-\beta \mu B}.
Reconhecemos a identidade hiperbólica \operatorname{cosh} x = \tfrac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}), então
Z_{1} = 2\operatorname{cosh}(\beta \mu B).

Passo 4

Partição do sistema com N partículas independentes: quando as partículas são não-interagentes e cada partícula tem partição Z_{1}, a partição total é o produto das partições individuais. Logo
Z = (Z_{1})^{N} = \bigl(2\operatorname{cosh}(\beta \mu B)\bigr)^{N}.
Isto responde (a). Vou anotar explicitamente a forma final para a parte (a) na seção de resposta.

Passo 5

Como calcular a magnetização média \langle M\rangle: definição e duas maneiras.\n\nDefinição física: a magnetização total M é a soma dos momentos magnéticos ao longo de z das N partículas. A média estatística \langle M\rangle pode ser obtida diretamente das probabilidades dos estados ou via derivada da função de partição. Vou mostrar as duas formas porque são úteis na prova.\n\nMétodo A — probabilidade direta (didático): para uma partícula, a probabilidade de estar no estado + é
P_{+} = \frac{e^{\beta \mu B}}{Z_{1}},
e a probabilidade de estar no estado - é
P_{-} = \frac{e^{-\beta \mu B}}{Z_{1}}.
O momento magnético em z para o estado + é +\mu e para o estado - é -\mu. Então o valor médio do momento de uma partícula é
\langle m \rangle = \mu P_{+} + (-\mu) P_{-} = \frac{\mu\bigl(e^{\beta \mu B}-e^{-\beta \mu B}\bigr)}{Z_{1}}.
Usando Z_{1}=e^{\beta\mu B}+e^{-\beta\mu B} isto fica
\langle m \rangle = \mu\frac{e^{\beta\mu B}-e^{-\beta\mu B}}{e^{\beta\mu B}+e^{-\beta\mu B}} = \mu\operatorname{tanh}(\beta \mu B).
Como há N partículas idênticas e independentes, a magnetização total média é
\langle M\rangle = N\langle m \rangle = N\mu\operatorname{tanh}(\beta\mu B).
Isto responde (b) (e coincide com a expressão dada).

Passo 6

Método B — derivada da função de partição (identidade útil na prova): para reforçar a intuição, mostro que o mesmo resultado se obtém por derivada de \ln Z. A energia total do sistema depende de B, e há a identidade termodinâmica
\langle M\rangle = -\left(\frac{\partial F}{\partial B}\right)_{T} \quad\text{com}\quad F = -k_{B}T\ln Z.
Substituindo F resulta
\langle M\rangle = k_{B}T\frac{\partial \ln Z}{\partial B}.
Como \ln Z = N\ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\mu B)\bigr), temos
\frac{\partial \ln Z}{\partial B} = N\frac{\partial}{\partial B}\ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\mu B)\bigr) = N\frac{1}{\operatorname{cosh}(\beta\mu B)}\operatorname{sinh}(\beta\mu B)\cdot\beta\mu,
ou seja
\frac{\partial \ln Z}{\partial B} = N\beta\mu\operatorname{tanh}(\beta\mu B).
Multiplicando por k_{B}T (lembrando \beta=1/(k_{B}T)) retorna
\langle M\rangle = N\mu\operatorname{tanh}(\beta\mu B),
confirmando o resultado do Método A. (Bom: duas vias, mesma resposta.)

Passo 7

Cálculo da susceptibilidade magnética \chi: definição prática que usarei é
\chi \equiv \left(\frac{\partial \langle M\rangle}{\partial B}\right)_{T}.
Usando \langle M\rangle = N\mu\operatorname{tanh}(\beta\mu B) procedo à derivada. Chamo x=\beta\mu B para simplificar temporariamente; então \operatorname{tanh} x tem derivada \operatorname{sech}^{2}x (onde \operatorname{sech}x=1/\operatorname{cosh} x). Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial B}\operatorname{tanh}(\beta\mu B) = \operatorname{sech}^{2}(\beta\mu B)\cdot\beta\mu.
Portanto
\chi = N\mu\cdot\beta\mu\;\operatorname{sech}^{2}(\beta\mu B) = N\frac{\mu^{2}}{k_{B}T}\,\operatorname{sech}^{2}\!\biggl(\frac{\mu B}{k_{B}T}\biggr).
Esta é a expressão geral da susceptibilidade para qualquer B e T.

Passo 8

Limite de campos magnéticos fracos e Lei de Curie: para campos fracos fazemos B\to 0. Note que \operatorname{sech}(0)=1, então \operatorname{sech}^{2}(0)=1. Assim no limite B\to 0
\chi(B\to 0) \approx N\frac{\mu^{2}}{k_{B}T}.
Portanto \chi\propto 1/T, o que é precisamente a Lei de Curie. O coeficiente de proporcionalidade (constante de Curie) é C = N\mu^{2}/k_{B} neste modelo.

Resposta

(a) Z=\bigl(2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{\mu B}{k_{B}T}\bigr)\bigr)^{N}.\n
(b) \langle M\rangle = N\mu\operatorname{tanh}\!\biggl(\tfrac{\mu B}{k_{B}T}\biggr).\n
(c) \chi = N\displaystyle\frac{\mu^{2}}{k_{B}T}\,\operatorname{sech}^{2}\!\biggl(\tfrac{\mu B}{k_{B}T}\biggr), e para campos fracos B\to 0: \chi \approx N\displaystyle\frac{\mu^{2}}{k_{B}T} (Lei de Curie: \chi\propto 1/T).

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