Questão 02 - (2,5 pts.) Um pósitron (“elétron com carga positiva”) com uma energia cinética de
penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme
de módulo
. O vetor velocidade da partícula faz um ângulo de
. Determine a) o período do movimento
; b) o passo (
velocidade X período); c)
raio
da trajetória helicoidal.
.
a)
(b)
c)
d)
.
a)
(b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um pósitron (carga positiva igual em módulo à carga do elétron) com energia cinética de
que entra em uma região com campo magnético uniforme de módulo
. O vetor velocidade forma um ângulo de
com
. Pede-se:
a) o período do movimento ;
b) o passo (passo da hélice) (o enunciado diz
velocidade
período — na física do movimento helicoidal usamos o componente paralelo de velocidade ao campo para o passo:
);
c) o raio da trajetória helicoidal.
a) o período do movimento
b) o passo (passo da hélice)
c) o raio
Informações fornecidas que vamos usar:
e a fórmula do módulo da força magnética indicada no enunciado:
Não vamos resolver nada neste passo, só ficou claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Transformar a energia cinética dada em joules e obter a velocidade total
da partícula (não relativística).
A energia cinética clássica é
A energia cinética clássica é
Convertendo
para joules:
Isolando
:
Substituindo números:
Comentário didático: usamos a fórmula da energia cinética clássica porque a energia de
dá uma velocidade muito menor que
(aqui
), então a aproximação não-relativística é aceitável para o cálculo pedido.
Passo 3
Decompor a velocidade em componentes paralela e perpendicular ao campo
.
As componentes são
As componentes são
com
. Calculando os valores (usando
e
):
Didática: o que gira no plano perpendicular ao campo é
; o componente paralelo
não sofre força magnética e desloca a partícula ao longo do eixo do campo, produzindo o avanço da hélice.
Passo 4
Calcular o período
da rotação circunferencial (período ciclotrônico). A frequência angular de giro (ciclótron) é
e o período é
Aqui
é o módulo da carga do pósitron,
. Substituindo:
Convertendo para nanossegundos:
Didática: observe que esse período não depende da velocidade (para o caso não-relativístico) — depende apenas de
,
e
.
Passo 5
Calcular o passo
(distância que a partícula anda ao longo do eixo do campo durante um giro completo). Esse passo é dado por
Usando os valores calculados:
Convertendo para milímetros:
Didática: é a distância que a partícula avança ao longo de
em uma volta da hélice.
Passo 6
Calcular o raio
da circunferência que a partícula descreve no plano perpendicular ao campo. A relação centrípeta é
que simplifica (cancelando um
) para
Substituindo valores:
Convertendo para milímetros:
Didática: este é o raio da projeção circular da hélice; note que
cresce com
e diminui com
.
Passo 7
Resumo numérico final (valores arredondados com 2–3 algarismos significativos):