Questão 02 - (2,5 pts.) Um pósitron (“elétron com carga positiva”) com uma energia cinética de 2,0 \mathrm{keV} penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme \vec{B} de módulo 0,1 \mathrm{~T}. O vetor velocidade da partícula faz um ângulo de 85,0^{\circ} \mathrm{com} \vec{B}. Determine a) o período do movimento T; b) o passo ( p= velocidade X período); c) \circ raio r da trajetória helicoidal.
\left[F_{B}=q v B \operatorname{sen} \theta=m v^{2} / r ; \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ; 1,0 \mathrm{eV}=1,60218 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right].
a) T=0,10 n s ; p=0,23 m m ; r=0,13 m m
(b) T=0,36 \mathrm{~ns} ; p=0,83 \mathrm{~mm} ; r=1,5 \mathrm{~mm}
c) T=0,10 \mathrm{~ns} ; p=9,45 \times 10^{-3} \mathrm{~m} ; r=1,5 \mathrm{~mm}
d) T=0,36 \mathrm{~ns} ; p=9,5 \mathrm{~mm} ; r=0,13 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá um pósitron (carga positiva igual em módulo à carga do elétron) com energia cinética de 2{,}0\\ \mathrm{keV} que entra em uma região com campo magnético uniforme de módulo B=0{,}1\\ \mathrm{T}. O vetor velocidade forma um ângulo de \,85{,}0^\circ com \vec{B}. Pede-se:
a) o período do movimento T;
b) o passo (passo da hélice) p (o enunciado diz p= velocidade \times período — na física do movimento helicoidal usamos o componente paralelo de velocidade ao campo para o passo: p=v_{\parallel}T);
c) o raio r da trajetória helicoidal.
Informações fornecidas que vamos usar:
m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\qquad 1{,}0\\ \mathrm{eV}=1{,}60218\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
e a fórmula do módulo da força magnética indicada no enunciado:
F_B=qvB\operatorname{sen}\theta=m\frac{v_{\perp}^2}{r}.
Não vamos resolver nada neste passo, só ficou claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Transformar a energia cinética dada em joules e obter a velocidade total v da partícula (não relativística).
A energia cinética clássica é
K=\tfrac{1}{2}mv^2.
Convertendo 2{,}0\\ \mathrm{keV} para joules:
K=2{,}0\times10^3\\ \mathrm{eV}\times 1{,}60218\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV} =3{,}20436\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.
Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2K}{m}}.
Substituindo números:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}20436\times10^{-16}}{9{,}11\times10^{-31}}} =\sqrt{7{,}035\times10^{14}} \approx 8{,}39\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: usamos a fórmula da energia cinética clássica porque a energia de 2\\ \mathrm{keV} dá uma velocidade muito menor que c (aqui v\approx0{,}28\,c), então a aproximação não-relativística é aceitável para o cálculo pedido.

Passo 3

Decompor a velocidade em componentes paralela e perpendicular ao campo \vec{B}.
As componentes são
v_{\perp}=v\operatorname{sen}\theta,\qquad v_{\parallel}=v\cos\theta,
com \theta=85{,}0^\circ. Calculando os valores (usando \sen85^\circ\approx0{,}99619 e \cos85^\circ\approx0{,}08716):
v_{\perp}=8{,}39\times10^{7}\cdot 0{,}99619 \approx 8{,}36\times10^{7}\\ \mathrm{m/s},
v_{\parallel}=8{,}39\times10^{7}\cdot 0{,}08716 \approx 7{,}31\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Didática: o que gira no plano perpendicular ao campo é v_{\perp}; o componente paralelo v_{\parallel} não sofre força magnética e desloca a partícula ao longo do eixo do campo, produzindo o avanço da hélice.

Passo 4

Calcular o período T da rotação circunferencial (período ciclotrônico). A frequência angular de giro (ciclótron) é
\omega=\frac{qB}{m},
e o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{qB}.
Aqui q é o módulo da carga do pósitron, q=e=1{,}60218\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Substituindo:
T=\frac{2\pi\cdot 9{,}11\times10^{-31}}{1{,}60218\times10^{-19}\cdot 0{,}1} =\frac{5{,}7277\times10^{-30}}{1{,}60218\times10^{-20}} \approx 3{,}57\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para nanossegundos:
T\approx 0{,}36\\ \mathrm{ns}.
Didática: observe que esse período não depende da velocidade (para o caso não-relativístico) — depende apenas de m, q e B.

Passo 5

Calcular o passo p (distância que a partícula anda ao longo do eixo do campo durante um giro completo). Esse passo é dado por
p = v_{\parallel}\,T.
Usando os valores calculados:
p \approx 7{,}31\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}57\times10^{-10}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
p\approx 2{,}61\\ \mathrm{mm}.
Didática: é a distância que a partícula avança ao longo de \vec{B} em uma volta da hélice.

Passo 6

Calcular o raio r da circunferência que a partícula descreve no plano perpendicular ao campo. A relação centrípeta é
m\frac{v_{\perp}^2}{r}=q v_{\perp}B,
que simplifica (cancelando um v_{\perp}) para
r=\frac{m v_{\perp}}{qB}.
Substituindo valores:
r=\frac{9{,}11\times10^{-31}\cdot 8{,}36\times10^{7}}{1{,}60218\times10^{-19}\cdot 0{,}1} =\frac{7{,}61\times10^{-23}}{1{,}60218\times10^{-20}} \approx 4{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
r\approx 4{,}75\\ \mathrm{mm}.
Didática: este é o raio da projeção circular da hélice; note que r cresce com v_{\perp} e diminui com B.

Passo 7

Resumo numérico final (valores arredondados com 2–3 algarismos significativos):
T\approx 3{,}57\times10^{-10}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}36\\ \mathrm{ns},
p\approx 2{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}61\\ \mathrm{mm},
r\approx 4{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}75\\ \mathrm{mm}.

Resposta

T=0{,}36\\ \mathrm{ns}
p=2{,}61\\ \mathrm{mm}
r=4{,}75\\ \mathrm{mm}

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