Considere
. Prove que:
a) é monótona decrescente limitada inferiormente e portanto converge.
b) converge para 1 .
a) é monótona decrescente limitada inferiormente e portanto converge.
b) converge para 1 .
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
– (a) mostrar que é monótona decrescente (a partir de certo
) e limitada inferiormente, e portanto converge;
– (b) determinar .
– (a) mostrar que
– (b) determinar
Vamos usar duas ferramentas clássicas: o critério da razão (ou o estudo de derivada de uma função contínua “modelo”) para a monotonicidade, e o fato de que
para obter o limite de
.
Passo 2
Provar que
é decrescente para
.
Método da razão: considere
Método da razão: considere
Mas é mais simples reescrever a condição
como
Como sabemos que
para todo
, e
mas
, concluímos
Logo
sempre que
, ou seja,
é estritamente decrescente.
Passo 3
Mostrar que
é limitada inferiormente.
Para todo temos
, pois
implica
.
Portanto para todo
, ou seja,
é uma cota inferior.
Para todo
Portanto
Passo 4
Concluir que
converge.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é monótona decrescente (a partir de certo índice) e limitada inferiormente converge.
Como já mostramos que a partir de a sequência é decrescente e que
, ela converge.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é monótona decrescente (a partir de certo índice) e limitada inferiormente converge.
Como já mostramos que a partir de
Passo 5
Determinar o valor do limite.
Defina . Tome logaritmo natural:
Defina
Sabemos que
Logo
Resposta
a) A sequência
é (a partir de
) estritamente decrescente e limitada inferiormente por
, logo converge.
b)
b)