Considere a_{n}=\sqrt[n]{n}. Prove que:
a) é monótona decrescente limitada inferiormente e portanto converge.
b) converge para 1 .

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \sqrt[n]{n} = n^{1/n}
e pede:
– (a) mostrar que (a_n) é monótona decrescente (a partir de certo n) e limitada inferiormente, e portanto converge;
– (b) determinar \lim_{n\to\infty}a_n.
Vamos usar duas ferramentas clássicas: o critério da razão (ou o estudo de derivada de uma função contínua “modelo”) para a monotonicidade, e o fato de que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0
para obter o limite de a_n.

Passo 2

Provar que a_n é decrescente para n\ge3.
Método da razão: considere
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)^{1/(n+1)}}{n^{1/n}} =\Bigl(\frac{n+1}{n^{(n+1)/n}}\Bigr)^{1/(n+1)} =\Bigl(\frac{n+1}{n\cdot n^{1/n}}\Bigr)^{1/(n+1)}.
Mas é mais simples reescrever a condição a_{n+1}<a_n como
(n+1)^{1/(n+1)}<n^{1/n} \quad\Longleftrightarrow\quad (n+1)^n < n^{\,n+1} \quad\Longleftrightarrow\quad \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n < n.
Como sabemos que \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n\le e para todo n, e e<3 mas n\ge3, concluímos
\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n \le e < n \quad\text{para todo }n\ge3.
Logo a_{n+1}<a_n sempre que n\ge3, ou seja, (a_n)_{n\ge3} é estritamente decrescente.

Passo 3

Mostrar que (a_n) é limitada inferiormente.
Para todo n\ge1 temos n^{1/n}\ge1, pois n\ge1 implica n^{1/n}\ge1^{1/n}=1.
Portanto a_n\ge1 para todo n, ou seja, 1 é uma cota inferior.

Passo 4

Concluir que (a_n) converge.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é monótona decrescente (a partir de certo índice) e limitada inferiormente converge.
Como já mostramos que a partir de n=3 a sequência é decrescente e que a_n\ge1, ela converge.

Passo 5

Determinar o valor do limite.
Defina L=\lim_{n\to\infty}a_n. Tome logaritmo natural:
\ln a_n = \frac{\ln n}{n}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0.
Logo
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln L = 0 \quad\Longrightarrow\quad L = e^0 = 1.

Resposta

a) A sequência \bigl(n^{1/n}\bigr) é (a partir de n=3) estritamente decrescente e limitada inferiormente por 1, logo converge.
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1.

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